Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) d x na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.36}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Construa uma tabela de valores ( x, f(x) ) para x \in\{0,1 / 2,1\}. O passo anterior lhe dará a informação de quantas casas decimais são necessárias;

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} f(x)\,dx
onde f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4{.}36}\right)^{2}}.
A instrução específica é construir uma tabela de valores (x,f(x)) para x\in\{0,\tfrac{1}{2},1\}. A partir dessa tabela devemos inferir quantas casas decimais são necessárias para obter uma aproximação da integral com a precisão desejada.
Informações dadas e o que faremos:
  • Valores pedidos: x=0,\;x=\tfrac{1}{2},\;x=1.
  • Função dada: f(x)=\exp\!\big(-(\tfrac{x}{4{.}36})^{2}\big).
  • Objetivo final: aproximar \int_{0}^{1} f(x)\,dx usando a tabela (vamos usar a regra de Simpson composta com os três pontos, que é natural quando temos x_0,x_1,x_2 igualmente espaçados).

Passo 2

Construção da tabela: vamos calcular f(0), f\big(\tfrac{1}{2}\big) e f(1) passo a passo, mostrando contas para quem não usará calculadora (usaremos uma expansão para a exponencial quando o argumento for pequeno).
  1. x=0.
\left(\frac{0}{4{.}36}\right)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad f(0)=e^{0}=1.
  1. x=\tfrac{1}{2}. Calculemos o argumento do exponencial:
\left(\frac{1/2}{4{.}36}\right)^{2}=\frac{(1/2)^{2}}{4{.}36^{2}}=\frac{0{,}25}{19{.}0096}.
É conveniente escrever \dfrac{0{,}25}{19{.}0096}=\dfrac{2500}{190096}. Fazendo a divisão (ou uma aproximação controlada) obtém-se
\left(\frac{1/2}{4{.}36}\right)^{2}\approx 0{,}01315125.
Agora usamos a série de Taylor para e^{-a} (boa quando a é pequeno):
e^{-a}=1-a+\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{3}}{6}+\cdots
com a\approx 0{,}01315125. Calculamos termos necessários:
a\approx 0{,}01315125,
a^{2}\approx 0{,}0001729554,\qquad \frac{a^{2}}{2}\approx 0{,}0000864777,
a^{3}\approx 0{,}000002274,\qquad \frac{a^{3}}{6}\approx 0{,}000000379.
Substituindo na série (cortando após o termo de ordem a^{3}, já muito pequeno):
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=e^{-a}\approx 1-0{,}01315125+0{,}0000864777-0{,}000000379\approx 0{,}98693485.
  1. x=1. Note que \left(\frac{1}{4{.}36}\right)^{2}=4\cdot\left(\frac{1/2}{4{.}36}\right)^{2}, então
\left(\frac{1}{4{.}36}\right)^{2}\approx 4\cdot 0{,}01315125=0{,}052605.
Chamando b\approx 0{,}052605, usamos novamente a série:
b^{2}\approx 0{,}0027672864,\qquad \frac{b^{2}}{2}\approx 0{,}0013836432,
b^{3}\approx 0{,}0001455,\qquad \frac{b^{3}}{6}\approx 0{,}00002425.
Então
f(1)=e^{-b}\approx 1-0{,}052605+0{,}0013836432-0{,}00002425\approx 0{,}94875439.
Tabela final (arredondada com várias casas para segurança):
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline 0 & 1{,}000000\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0{,}98693485\\[4pt] 1 & 0{,}94875439 \end{array}]

Passo 3

Quantas casas decimais são necessárias? Vamos raciocinar de forma prática e segura.
  • Se usarmos a regra de Simpson com os três pontos (passo seguinte), a fórmula é
\int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(0)+4f(h)+f(1)\big),
com h=\tfrac{1-0}{2}=\tfrac{1}{2}. Note os coeficientes 1,4,1.
  • Suponha que cada valor f(x) esteja arredondado com erro absoluto no máximo \varepsilon. Então o erro máximo na combinação linear devido ao arredondamento vale
\left|\Delta\right|\le \frac{h}{3}\big(1+4+1\big)\varepsilon=\frac{1}{6}\cdot 6\varepsilon=\varepsilon.
Isto é, o erro na integral causado pelos erros de arredondamento nos f é, no pior caso, ao máximo \varepsilon.
  • Se queremos que o erro de arredondamento seja menor que 5\times 10^{-4} (suficiente para ter a integral correta com três casas decimais), basta garantir \varepsilon\le 5\times 10^{-4}. Isso exige arredondar cada f(x) com, pelo menos, 3 casas decimais (pois arredondamento para k casas dá \varepsilon\le 0{,}5\cdot 10^{-k}).
  • Como temos facilidade de calcular valores com precisão, escolhi manter 6 casas decimais nos f(x) na tabela anterior para ter folga e obter a integral com precisão melhor.
Resumo prático: para 3 casas decimais na integral precisamos de pelo menos 3 casas decimais nos f; eu usei 6 casas decimais para segurança.

Passo 4

Aplicando a regra de Simpson com h=\tfrac{1}{2} e os valores obtidos:
\text{Simpson}=\frac{h}{3}\big(f(0)+4f(\tfrac{1}{2})+f(1)\big)=\frac{1/2}{3}\big(1+4\cdot 0{,}98693485+0{,}94875439\big).
Calculemos a soma interna:
1+4\cdot 0{,}98693485+0{,}94875439=1+3{,}9477394+0{,}94875439=5{,}89649379.
Agora multiplicamos por h/3=1/6:
\text{Simpson}=\frac{1}{6}\cdot 5{,}89649379\approx 0{,}982748965.
Arredondando de forma consistente com a precisão que estabelecemos (6 casas decimais nos f), podemos apresentar a aproximação com 6 casas decimais:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx 0{,}982749.
Comentário final (motivacional): deu trabalho, eu sei — calcular exponenciais “na mão” assusta, mas usando a série de Taylor para argumentos pequenos e raciocínio sobre erro de arredondamento fica bem controlado. Você já tem a tabela e o método; na prova, se pedirem só duas ou três casas, basta arredondar mais cedo e seguir a mesma ideia. Boa sorte — você consegue!

Resposta

0{,}982749

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