Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Construa uma tabela de valores (
) para
. O passo anterior lhe dará a informação de quantas casas decimais são necessárias;
Construa uma tabela de valores (
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação para a integral
onde
.
A instrução específica é construir uma tabela de valores para
. A partir dessa tabela devemos inferir quantas casas decimais são necessárias para obter uma aproximação da integral com a precisão desejada.
Informações dadas e o que faremos:
A instrução específica é construir uma tabela de valores
Informações dadas e o que faremos:
- Valores pedidos:
. - Função dada:
. - Objetivo final: aproximar
usando a tabela (vamos usar a regra de Simpson composta com os três pontos, que é natural quando temos igualmente espaçados).
Passo 2
Construção da tabela: vamos calcular
,
e
passo a passo, mostrando contas para quem não usará calculadora (usaremos uma expansão para a exponencial quando o argumento for pequeno).
-
.
-
. Calculemos o argumento do exponencial:
É conveniente escrever
. Fazendo a divisão (ou uma aproximação controlada) obtém-se
Agora usamos a série de Taylor para
(boa quando
é pequeno):
com
. Calculamos termos necessários:
Substituindo na série (cortando após o termo de ordem
, já muito pequeno):
-
. Note que , então
Chamando
, usamos novamente a série:
Então
Tabela final (arredondada com várias casas para segurança):
Passo 3
Quantas casas decimais são necessárias? Vamos raciocinar de forma prática e segura.
- Se usarmos a regra de Simpson com os três pontos (passo seguinte), a fórmula é
com
. Note os coeficientes
.
- Suponha que cada valor
esteja arredondado com erro absoluto no máximo . Então o erro máximo na combinação linear devido ao arredondamento vale
Isto é, o erro na integral causado pelos erros de arredondamento nos
é, no pior caso, ao máximo
.
- Se queremos que o erro de arredondamento seja menor que
(suficiente para ter a integral correta com três casas decimais), basta garantir . Isso exige arredondar cada com, pelo menos, 3 casas decimais (pois arredondamento para casas dá ). - Como temos facilidade de calcular valores com precisão, escolhi manter 6 casas decimais nos
na tabela anterior para ter folga e obter a integral com precisão melhor.
Resumo prático: para 3 casas decimais na integral precisamos de pelo menos 3 casas decimais nos
; eu usei 6 casas decimais para segurança.
Passo 4
Aplicando a regra de Simpson com
e os valores obtidos:
Calculemos a soma interna:
Agora multiplicamos por
:
Arredondando de forma consistente com a precisão que estabelecemos (6 casas decimais nos
), podemos apresentar a aproximação com 6 casas decimais:
Comentário final (motivacional): deu trabalho, eu sei — calcular exponenciais “na mão” assusta, mas usando a série de Taylor para argumentos pequenos e raciocínio sobre erro de arredondamento fica bem controlado. Você já tem a tabela e o método; na prova, se pedirem só duas ou três casas, basta arredondar mais cedo e seguir a mesma ideia. Boa sorte — você consegue!
Resposta
0{,}982749