Usando uma técnica adequada, dê uma aproximação para a integral
com pelo menos 4 algarismos significativos corretos.
Resposta:
Método de quadratura adequado
Quantidade de pontos □
Valor aproximado
□ Regra dos Trapézios
Regra de Simpson 3/8
Quadratura de Gauss-Laguerre
Quadratura de Gauss-Hermite
Regra de Simpson 1/3
com pelo menos 4 algarismos significativos corretos.
Método de quadratura adequado
Quantidade de pontos □
Valor aproximado
Regra de Simpson 3/8
Quadratura de Gauss-Laguerre
Quadratura de Gauss-Hermite
Regra de Simpson 1/3
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação com pelo menos 4 algarismos significativos corretos da integral
ou seja, da integral
definida na reta inteira. Informação importante: o fator de decaimento é
, a integração é sobre
e precisamos de precisão de pelo menos 4 algarismos significativos.
Passo 2
Observação de paridade (muito útil para simplificar): explique por quê.
- A função
é ímpar: para todo , . - A função
é ímpar, logo também é ímpar. - O produto de duas funções ímpares é uma função par: portanto
é par. -
é par.
Logo o integrandoé par (produto de pares ou produto de uma par com outra par). Para uma função par,
mas aqui essa observação é só simplificadora — vamos usar outra técnica que já integra no eixo todo.
Passo 3
Simplificação trigonométrica: usar identidade para
.
A identidade de redução é
A identidade de redução é
Aplicando com
,
Portanto
Passo 4
Técnica útil: transformada de Fourier da gaussiana e derivada em relação ao parâmetro. A integral básica conhecida é
que se obtém completando o quadrado no expoente (vou mostrar a ideia rapidamente):
- Escreva
. - Fazendo a mudança
e usando que a integral gaussiana sobre a reta deslocada vale , obtemos .
Agora diferenciamos
em relação a
:
Portanto
Passo 5
Extrair a parte imaginária para obter a integral com
. Como
temos
Logo
Tomando a parte imaginária do lado direito (já que
é a parte imaginária da integral com
), obtemos a fórmula fechada
(Isto é uma identidade muito útil: sempre que você tiver
integrada na reta, pode usar essa expressão direta.)
Passo 6
Aplicar a fórmula aos dois termos do Passo 3 com
e
. Assim
Substituindo em
obtido no Passo 3,
Fatorando
e simplificando,
Passo 7
Avaliação numérica com precisão:
- Primeiro termos numéricos conhecidos:
. - Calcule o fator
:
- Calcule
. - Calcule
(este último é tão pequeno que sua contribuição é desprezível para 8 casas decimais).
Multiplicando,
Mantendo mais dígitos internos dá
. Para 4 algarismos significativos a aproximação
já seria suficiente, mas forneço um valor com 8 dígitos significativos.
Comentário sobre quadratura: para quem preferir aplicar quadratura numérica em vez da fórmula analítica, a quadratura de Gauss–Hermite é a escolha natural porque o peso é
. Para atingir 4 algarismos significativos em prática, normalmente
abscissas de Gauss–Hermite são suficientes (dependendo da suavidade de
); mas aqui conseguimos uma expressão analítica e uma avaliação numérica direta muito mais precisa.
Resposta
Método de quadratura adequado: Quadratura de Gauss–Hermite (usei solução analítica equivalente)
Quantidade de pontos: (se for usar Gauss–Hermite numérico; análise exata dispensa pontos)
Valor aproximado
Quantidade de pontos:
Valor aproximado