Usando uma técnica adequada, dê uma aproximação para a integral I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \operatorname{sen}^{3}(3 x)}{e^{x^{2}}} d x
com pelo menos 4 algarismos significativos corretos.
Resposta:
Método de quadratura adequado
Quantidade de pontos □
Valor aproximado I= □ Regra dos Trapézios
Regra de Simpson 3/8
Quadratura de Gauss-Laguerre
Quadratura de Gauss-Hermite
Regra de Simpson 1/3

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação com pelo menos 4 algarismos significativos corretos da integral
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\,\operatorname{sen}^{3}(3x)}{e^{x^{2}}}\,dx,
ou seja, da integral
I=\int_{-\infty}^{+\infty} x\,\sin^{3}(3x)\,e^{-x^{2}}\,dx,
definida na reta inteira. Informação importante: o fator de decaimento é e^{-x^{2}}, a integração é sobre (-\infty,\infty) e precisamos de precisão de pelo menos 4 algarismos significativos.

Passo 2

Observação de paridade (muito útil para simplificar): explique por quê.
  • A função x é ímpar: para todo x, (-x) = -x.
  • A função \sin(3x) é ímpar, logo \sin^{3}(3x) também é ímpar.
  • O produto de duas funções ímpares é uma função par: portanto x\sin^{3}(3x) é par.
  • e^{-x^{2}} é par.
    Logo o integrando x\sin^{3}(3x)e^{-x^{2}} é par (produto de pares ou produto de uma par com outra par). Para uma função par,
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx,
mas aqui essa observação é só simplificadora — vamos usar outra técnica que já integra no eixo todo.

Passo 3

Simplificação trigonométrica: usar identidade para \sin^{3}.
A identidade de redução é
\sin^{3}\theta = \frac{3\sin\theta-\sin(3\theta)}{4}.
Aplicando com \theta=3x,
\sin^{3}(3x)=\frac{3\sin(3x)-\sin(9x)}{4}.
Portanto
I=\int_{-\infty}^{+\infty} x\sin^{3}(3x)e^{-x^{2}}\,dx =\frac{1}{4}\Big(3\int_{-\infty}^{+\infty} x\sin(3x)e^{-x^{2}}\,dx-\int_{-\infty}^{+\infty} x\sin(9x)e^{-x^{2}}\,dx\Big).

Passo 4

Técnica útil: transformada de Fourier da gaussiana e derivada em relação ao parâmetro. A integral básica conhecida é
F(a)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{i a x}\,dx=\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4},
que se obtém completando o quadrado no expoente (vou mostrar a ideia rapidamente):
  • Escreva e^{-x^{2}+i a x}=e^{-(x^{2}-i a x)}=e^{-(x-i a/2)^{2}}e^{-a^{2}/4}.
  • Fazendo a mudança y=x-i a/2 e usando que a integral gaussiana sobre a reta deslocada vale \sqrt{\pi}, obtemos F(a)=\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4}.
Agora diferenciamos F(a) em relação a a:
F'(a)=\frac{d}{da}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{i a x}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} (i x) e^{i a x}\,dx.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} e^{i a x}\,dx=\frac{F'(a)}{i}.

Passo 5

Extrair a parte imaginária para obter a integral com \sin. Como
F(a)=\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4},
temos
F'(a)=\sqrt{\pi}\left(-\frac{a}{2}\right)e^{-a^{2}/4}=-\frac{a}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} e^{i a x}\,dx=\frac{F'(a)}{i} =-i\left(-\frac{a}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4}\right) =i\frac{a}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4}.
Tomando a parte imaginária do lado direito (já que \int x e^{-x^{2}}\sin(ax)\,dx é a parte imaginária da integral com e^{i a x}), obtemos a fórmula fechada
\boxed{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} \sin(ax)\,dx = \frac{a}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}/4}.}
(Isto é uma identidade muito útil: sempre que você tiver x\sin(ax)e^{-x^{2}} integrada na reta, pode usar essa expressão direta.)

Passo 6

Aplicar a fórmula aos dois termos do Passo 3 com a=3 e a=9. Assim
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} \sin(3x)\,dx = \frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-9/4},
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} \sin(9x)\,dx = \frac{9}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-81/4}.
Substituindo em I obtido no Passo 3,
I=\frac{1}{4}\Big(3\cdot\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-9/4}-\frac{9}{2}\sqrt{\pi}\,e^{-81/4}\Big).
Fatorando \sqrt{\pi} e simplificando,
I=\sqrt{\pi}\,\frac{9}{8}\left(e^{-9/4}-e^{-81/4}\right).

Passo 7

Avaliação numérica com precisão:
  • Primeiro termos numéricos conhecidos: \sqrt{\pi}\approx 1,7724538509055160.
  • Calcule o fator \sqrt{\pi}\cdot\frac{9}{8}:
\sqrt{\pi}\cdot\frac{9}{8}\approx 1,9940105822687055.
  • Calcule e^{-9/4}=e^{-2,25}\approx 0,10539922456186433.
  • Calcule e^{-81/4}=e^{-20,25}\approx 1,605\times 10^{-9} (este último é tão pequeno que sua contribuição é desprezível para 8 casas decimais).
    Multiplicando,
I\approx 1,9940105822687055\times(0,10539922456186433-1,605\times 10^{-9}) \approx 0,21016717\\ (\text{aprox.}).
Mantendo mais dígitos internos dá I\approx 0,2101671660\ldots. Para 4 algarismos significativos a aproximação 0,21017 já seria suficiente, mas forneço um valor com 8 dígitos significativos.
Comentário sobre quadratura: para quem preferir aplicar quadratura numérica em vez da fórmula analítica, a quadratura de Gauss–Hermite é a escolha natural porque o peso é e^{-x^{2}}. Para atingir 4 algarismos significativos em prática, normalmente n=8 abscissas de Gauss–Hermite são suficientes (dependendo da suavidade de g(x)=x\sin^{3}(3x)); mas aqui conseguimos uma expressão analítica e uma avaliação numérica direta muito mais precisa.

Resposta

Método de quadratura adequado: Quadratura de Gauss–Hermite (usei solução analítica equivalente)
Quantidade de pontos: n=8 (se for usar Gauss–Hermite numérico; análise exata dispensa pontos)
Valor aproximado I = 0,21016717

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