A regra do trapézio é aplicada para aproximar \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1+x^{2}} d x com dois subintervalos. Qual é a aproximação correta?
Escolha uma opção:
◯ a. 1.2000
◯ b. 1.4000
◯ c. 1.2493
◯ d. 1.3000
◯ e. 1.1000

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1+x^{2}}\,dx
usando a regra do trapézio com dois subintervalos. Informações dadas e o que precisa ser calculado:
  • intervalo: [0,1];
  • número de subintervalos: n=2;
  • função integrando: f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}}.
    A tarefa é aplicar a regra do trapézio composta com esses dados e obter a aproximação numérica.

Passo 2

Vou explicar a fórmula da regra do trapézio composta (aula rápida): se dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h, com nós x_0=a,x_1,\dots,x_n=b, a aproximação pelo trapézio é
T_n = h\left(\tfrac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\tfrac{1}{2}f(x_n)\right).
Aqui:
  • h é a largura de cada subintervalo, h=\dfrac{b-a}{n};
  • f(x_i) são os valores da função nos nós;
  • a fórmula é simplesmente a soma das áreas de trapézios em cada subintervalo: cada extremidade interior conta inteira, as duas extremidades do intervalo contam metade.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a=0, b=1, n=2. Calculamos h e os nós:
h=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Os nós são
x_0=0,\quad x_1=0{,}5,\quad x_2=1.

Passo 4

Calculamos f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+x^{2}} nos nós:
  • f(x_0)=f(0)=\dfrac{e^{0}}{1+0^{2}}=\dfrac{1}{1}=1.
  • f(x_1)=f(0{,}5)=\dfrac{e^{0{,}5}}{1+(0{,}5)^{2}}=\dfrac{e^{0{,}5}}{1{,}25}. Sabemos e^{0{,}5}=\sqrt{e}\approx 1{,}6487212707, logo
f(0{,}5)\approx \frac{1{,}6487212707}{1{,}25}\approx 1{,}3189770166.
  • f(x_2)=f(1)=\dfrac{e^{1}}{1+1^{2}}=\dfrac{e}{2}. Com e\approx 2{,}7182818285,
f(1)\approx \frac{2{,}7182818285}{2}=1{,}3591409143.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do trapézio com n=2:
T_2 = h\Big(\tfrac{1}{2}f(x_0)+f(x_1)+\tfrac{1}{2}f(x_2)\Big).
Substituindo os valores numéricos:
T_2 = 0{,}5\Big(\tfrac{1}{2}\cdot 1 + 1{,}3189770166 + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}3591409143\Big).
Calculamos o parêntesis passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot 1 = 0{,}5, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}3591409143 = 0{,}67957045715.
Somando:
0{,}5 + 1{,}3189770166 + 0{,}67957045715 = 2{,}49854747375.
Multiplicando por h=0{,}5:
T_2 \approx 0{,}5 \times 2{,}49854747375 = 1{,}249273736875.

Passo 6

Arredondando o resultado para quatro casas decimais (como nas alternativas), temos
T_2 \approx 1{,}2493.

Resposta

c. 1{,}2493

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