Usando a fórmula de Moivre [(\cos \theta+i \sin \theta)]^{n}=[\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)] mostre que:
\cos (3 x)=\cos ^{3} x-3 \cos x \sin ^{2} x \quad \text { e } \quad \sin (3 x)=3 \cos ^{2} x \sin x-\sin ^{3} x .

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente a fórmula de De Moivre:
\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
Pede-se para mostrar as fórmulas:
\cos(3x)=\cos^{3}x-3\cos x\sin^{2}x
e
\sin(3x)=3\cos^{2}x\sin x-\sin^{3}x.
As informações relevantes que temos são: a expressão de De Moivre para expoente n (a ser usada com n=3), a definição da unidade imaginária i (com i^{2}=-1) e as funções trigonométricas \cos x e \sin x avaliadas em um ângulo real x.

Passo 2

Vou usar duas ferramentas que precisam ser lembradas e entendidas bem:
  • Teorema do binômio para (a+b)^{3}: para quaisquer números (reais ou complexos) a e b vale
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Expliquei isso: é a expansão padrão do cubo de uma soma; os coeficientes 1,3,3,1 vêm do triângulo de Pascal ou da fórmula combinatória.
  • Propriedades da unidade imaginária i: por definição i^{2}=-1. Logo
i^{3}=i^{2}\cdot i=-1\cdot i=-i.
Outra ideia importante (que usarei depois): se dois números complexos são iguais, então as suas partes reais são iguais e as suas partes imaginárias são iguais. Isso permite, ao comparar dois complexos expandidos, separar igualdade em duas igualdades reais.

Passo 3

Aplique a fórmula de De Moivre com n=3 e \theta=x:
\bigl(\cos x+i\sin x\bigr)^{3}=\cos(3x)+i\sin(3x).
Agora expanda o lado esquerdo usando o teorema do binômio com a=\cos x e b=i\sin x:
\bigl(\cos x+i\sin x\bigr)^{3}=(\cos x)^{3}+3(\cos x)^{2}(i\sin x)+3(\cos x)(i\sin x)^{2}+(i\sin x)^{3}.

Passo 4

Calcule cada termo que contém potências de i:
  • O primeiro termo é (\cos x)^{3}=\cos^{3}x.
  • O segundo termo é 3(\cos x)^{2}(i\sin x)=3i\cos^{2}x\sin x.
  • O terceiro termo usa i^{2}=-1:
3(\cos x)(i\sin x)^{2}=3\cos x\cdot i^{2}\sin^{2}x=3\cos x\cdot(-1)\sin^{2}x=-3\cos x\sin^{2}x.
  • O quarto termo usa i^{3}=-i:
(i\sin x)^{3}=i^{3}\sin^{3}x=-i\sin^{3}x.
Somando tudo:
\bigl(\cos x+i\sin x\bigr)^{3}=\bigl(\cos^{3}x-3\cos x\sin^{2}x\bigr)+i\bigl(3\cos^{2}x\sin x-\sin^{3}x\bigr).

Passo 5

Agora compare essa expressão com o lado direito da identidade de De Moivre para n=3:
\cos(3x)+i\sin(3x)=\bigl(\cos^{3}x-3\cos x\sin^{2}x\bigr)+i\bigl(3\cos^{2}x\sin x-\sin^{3}x\bigr).
Como dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, obtemos as duas identidades desejadas:
\cos(3x)=\cos^{3}x-3\cos x\sin^{2}x
e
\sin(3x)=3\cos^{2}x\sin x-\sin^{3}x.

Resposta

\cos(3x)=\cos^{3}x-3\cos x\sin^{2}x
\sin(3x)=3\cos^{2}x\sin x-\sin^{3}x

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