Usando a fórmula de Moivre
mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente a fórmula de De Moivre:
Pede-se para mostrar as fórmulas:
e
As informações relevantes que temos são: a expressão de De Moivre para expoente
(a ser usada com
), a definição da unidade imaginária
(com
) e as funções trigonométricas
e
avaliadas em um ângulo real
.
Passo 2
Vou usar duas ferramentas que precisam ser lembradas e entendidas bem:
- Teorema do binômio para
: para quaisquer números (reais ou complexos) e vale
Expliquei isso: é a expansão padrão do cubo de uma soma; os coeficientes
vêm do triângulo de Pascal ou da fórmula combinatória.
- Propriedades da unidade imaginária
: por definição . Logo
Outra ideia importante (que usarei depois): se dois números complexos são iguais, então as suas partes reais são iguais e as suas partes imaginárias são iguais. Isso permite, ao comparar dois complexos expandidos, separar igualdade em duas igualdades reais.
Passo 3
Aplique a fórmula de De Moivre com
e
:
Agora expanda o lado esquerdo usando o teorema do binômio com
e
:
Passo 4
Calcule cada termo que contém potências de
:
- O primeiro termo é
. - O segundo termo é
. - O terceiro termo usa
:
- O quarto termo usa
:
Somando tudo:
Passo 5
Agora compare essa expressão com o lado direito da identidade de De Moivre para
:
Como dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, obtemos as duas identidades desejadas:
e