Determine o conjunto solução das seguintes equações:
3^{x^{2}-x-3}=27

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação 3^{x^{2}-x-3}=27.
Informações dadas: a expressão no expoente é o polinómio quadrático x^{2}-x-3; o lado direito é 27. Vou procurar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Observação útil sobre o número 27: podemos escrevê‑lo como potência de 3. De fato,
27=3\cdot3\cdot3=3^{3}.
Portanto a equação fica 3^{x^{2}-x-3}=3^{3}.

Passo 3

Propriedade que vamos usar (explicada): se a>0 e a\neq1, então a função t\mapsto a^{t} é injetora, ou seja, a^{u}=a^{v} implica u=v. Uma maneira simples de ver isso é aplicar o logaritmo natural: \ln(a^{u})=u\ln a e \ln(a^{v})=v\ln a; se a\neq1 então \ln a\neq0, daí u\ln a=v\ln a implica u=v. No nosso caso, a=3 satisfaz a>0 e a\neq1, então podemos igualar os expoentes.

Passo 4

Igualando os expoentes pela propriedade acima temos
x^{2}-x-3=3.

Passo 5

Resolver a equação quadrática obtida. Primeiro passar o 3 para o lado esquerdo:
x^{2}-x-3-3=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}-x-6=0.
Agora fatoramos o trinômio. Procuramos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja -1. Esses números são -3 e 2. Logo
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).

Passo 6

De (x-3)(x+2)=0 obtemos as soluções
x=3\quad\text{ou}\quad x=-2.
Verificação rápida (substituir na equação original): para x=3 o expoente é 3^{2}-3-3=9-6=3 e então 3^{3}=27. Para x=-2 o expoente é (-2)^{2}-(-2)-3=4+2-3=3 e novamente 3^{3}=27. Ambas satisfazem a equação.

Resposta

\{-2,\,3\}

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