Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
.
Informações dadas: a expressão no expoente é o polinómio quadrático ; o lado direito é
. Vou procurar todos os
que satisfazem essa igualdade.
Informações dadas: a expressão no expoente é o polinómio quadrático
Passo 2
Observação útil sobre o número
: podemos escrevê‑lo como potência de
. De fato,
.
Portanto a equação fica .
Portanto a equação fica
Passo 3
Propriedade que vamos usar (explicada): se
e
, então a função
é injetora, ou seja,
implica
. Uma maneira simples de ver isso é aplicar o logaritmo natural:
e
; se
então
, daí
implica
. No nosso caso,
satisfaz
e
, então podemos igualar os expoentes.
Passo 4
Igualando os expoentes pela propriedade acima temos
Passo 5
Resolver a equação quadrática obtida. Primeiro passar o
para o lado esquerdo:
Agora fatoramos o trinômio. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo
Passo 6
De
obtemos as soluções
Verificação rápida (substituir na equação original): para
o expoente é
e então
. Para
o expoente é
e novamente
. Ambas satisfazem a equação.