Determine o conjunto solução das seguintes equações:
10^{3 x}=\frac{1}{10000}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
10^{3x}=\frac{1}{10000}.
Informações dadas: a base da potência do lado esquerdo é 10, o expoente é 3x (onde x é a incógnita) e o lado direito é a fração \frac{1}{10000}. Vamos encontrar todos os valores reais de x que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Transformar o lado direito em uma potência de 10 facilita muito. Observação: 10000 é 10^4 porque 10\cdot10\cdot10\cdot10=10000. Usamos também a regra de potências com expoente negativo:
a^{-n}=\frac{1}{a^n},
que vale para qualquer a>0 e inteiro n. Aplicando isso, temos
\frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}=10^{-4}.
(Exemplo simples parecido: \frac{1}{100}=10^{-2}.)

Passo 3

Substituindo essa equivalência na equação original obtemos
10^{3x}=10^{-4}.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade fundamental das potências: se a base a é positiva e diferente de 1 (aqui a=10), então a função exponencial a^t é injetora; isto é, se a^u=a^v então necessariamente u=v. Intuição rápida: para a>1 a função cresce estritamente, então não pode ter dois expoentes diferentes dando o mesmo valor; para 0<a<1 ela decresce estritamente, mas ainda assim é injetora. Portanto, da igualdade entre potências com a mesma base segue-se a igualdade dos expoentes.

Passo 5

Igualando os expoentes por causa da propriedade anterior obtemos a equação linear em x:
3x=-4.

Passo 6

Resolver a equação linear é simples: dividimos ambos os lados por 3:
x=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}.

Passo 7

Checagem rápida por substituição: calcular 10^{3x} com x=-\tfrac{4}{3}:
10^{3\left(-\tfrac{4}{3}\right)}=10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000},
logo a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

\,x=-\dfrac{4}{3}\,

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