Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
Informações dadas: a base da potência do lado esquerdo é
, o expoente é
(onde
é a incógnita) e o lado direito é a fração
. Vamos encontrar todos os valores reais de
que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Transformar o lado direito em uma potência de
facilita muito. Observação:
é
porque
. Usamos também a regra de potências com expoente negativo:
que vale para qualquer
e inteiro
. Aplicando isso, temos
(Exemplo simples parecido:
.)
Passo 3
Substituindo essa equivalência na equação original obtemos
Passo 4
Agora usamos uma propriedade fundamental das potências: se a base
é positiva e diferente de
(aqui
), então a função exponencial
é injetora; isto é, se
então necessariamente
. Intuição rápida: para
a função cresce estritamente, então não pode ter dois expoentes diferentes dando o mesmo valor; para
ela decresce estritamente, mas ainda assim é injetora. Portanto, da igualdade entre potências com a mesma base segue-se a igualdade dos expoentes.
Passo 5
Igualando os expoentes por causa da propriedade anterior obtemos a equação linear em
:
Passo 6
Resolver a equação linear é simples: dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Checagem rápida por substituição: calcular
com
:
logo a solução encontrada satisfaz a equação original.