Se
e
, determine
para que
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede os valores de
tais que a composição
vale
.
Informações fornecidas:
Pergunta: encontrar
que satisfaça
Passo 2
Entender o que é
: isso significa substituir a expressão
no lugar de
em
. Ou seja, calcular
avaliada em
. Vou escrever isso explicitamente.
Passo 3
Agora substituo
na expressão anterior:
Lembre que
porque
. Então
Passo 4
Coloco a equação que veio do enunciado:
Para resolver esse tipo de equação com potências, é comum fazer uma substituição que transforme em uma equação polinomial. Defino
Como
para todo
, teremos
. Em termos de
, a equação vira:
Passo 5
Reescrevo a equação quadrática em forma padrão:
Agora resolvo essa quadrática. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
. Assim:
Logo as soluções para
são
Passo 6
Lembro que
. Portanto a solução
é impossível (descartamos porque exponenciais positivas não podem dar negativo). Sobrou
Passo 7
Volto à substituição
. Temos então
Para uma exponencial com base
(base positiva diferente de
), a igualdade
ocorre exatamente quando
, porque
. (Se quiser, isso também se obtém aplicando logaritmo:
.)
Passo 8
Concluo que a única solução real da equação original é