Se f(x)=x^{2}+x e g(x)=3^{x}, determine x para que f(g(x))=2.

Passo 1

O enunciado dá as funções f e g e pede os valores de x tais que a composição f(g(x)) vale 2.
Informações fornecidas:
f(x)=x^{2}+x
g(x)=3^{x}
Pergunta: encontrar x que satisfaça
f(g(x))=2.

Passo 2

Entender o que é f(g(x)): isso significa substituir a expressão g(x) no lugar de x em f. Ou seja, calcular f avaliada em g(x). Vou escrever isso explicitamente.
f(g(x))=\big(g(x)\big)^{2} + g(x).

Passo 3

Agora substituo g(x)=3^{x} na expressão anterior:
f(g(x))=\big(3^{x}\big)^{2} + 3^{x}.
Lembre que \big(3^{x}\big)^{2}=3^{2x} porque (a^{b})^{c}=a^{bc}. Então
f(g(x))=3^{2x}+3^{x}.

Passo 4

Coloco a equação que veio do enunciado:
3^{2x}+3^{x}=2.
Para resolver esse tipo de equação com potências, é comum fazer uma substituição que transforme em uma equação polinomial. Defino
y=3^{x}.
Como 3^{x}>0 para todo x, teremos y>0. Em termos de y, a equação vira:
y^{2}+y=2.

Passo 5

Reescrevo a equação quadrática em forma padrão:
y^{2}+y-2=0.
Agora resolvo essa quadrática. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto é -2 e soma é 1. Esses números são 2 e -1. Assim:
y^{2}+y-2=(y+2)(y-1).
Logo as soluções para y são
y=-2 \quad\text{ou}\quad y=1.

Passo 6

Lembro que y=3^{x}>0. Portanto a solução y=-2 é impossível (descartamos porque exponenciais positivas não podem dar negativo). Sobrou
y=1.

Passo 7

Volto à substituição y=3^{x}. Temos então
3^{x}=1.
Para uma exponencial com base 3 (base positiva diferente de 1), a igualdade 3^{x}=1 ocorre exatamente quando x=0, porque 3^{0}=1. (Se quiser, isso também se obtém aplicando logaritmo: x=\log_{3}(1)=0.)

Passo 8

Concluo que a única solução real da equação original é
x=0.

Resposta

x=0

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