Determine as coordenadas do ponto P sobre a curva y=e^{-2 x} equidistante dos pontos A(2,4) e B(4,2). Utilize o Método da Bissecção no procedimento de resolução desse problema. Antes de aplicar o método é necessário determinar o intervalo que contém a solução. Assim sendo, obtenha esse intervalo com comprimento igual a 0,5 antes de começar a aplicar o método. Trabalhe com 5 casas decimais na calculadora. Utilize a amplitude do intervalo como critério de parada e considere \epsilon=10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede o ponto P sobre a curva y = e^{-2x} tal que as distâncias de P a
A(2,4) e a B(4,2) sejam iguais.
Isso equivale a resolver
d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 0,
onde P=(x,e^{-2x}). Usaremos o método da bissecção para achar a raiz dessa função, com critério de parada quando o comprimento do intervalo for \le 10^{-2}. Antes, precisamos encontrar um intervalo de comprimento 0,5 que contenha a raiz.

Passo 2

Definimos
f(x)= (x-2)^2 +\bigl(e^{-2x}-4\bigr)^2 \;-\;\bigl[(x-4)^2 +\bigl(e^{-2x}-2\bigr)^2\bigr].
Note que \,f(x)=0 implica d(P,A)=d(P,B). A função f é contínua, pois é soma e diferença de funções polinomiais e exponenciais.

Passo 3

Buscamos um intervalo de comprimento 0,5 em que f mude de sinal.
Calculemos em x=0 e x=0,5, com 5 casas decimais:
f(0) = (0-2)^2+(1-4)^2 -\bigl[(0-4)^2+(1-2)^2\bigr] = 4+9 - (16+1) = -4{,}00000,
e^{-1}=0{,}36788,\quad f(0{,}5) = (0{,}5-2)^2+(0{,}36788-4)^2 -\bigl[(0{,}5-4)^2+(0{,}36788-2)^2\bigr]\approx +0{,}52650.
Como f(0)<0 e f(0{,}5)>0, o intervalo [0,0{,}5] (comprimento 0{,}5) contém a raiz.

Passo 4

Aplicamos bissecção em [a,b]=[0,0,5] até b - a \le 10^{-2}.
1. a_0=0,\;b_0=0,5,\;m_1=0,25.
Calcule f(0,25) \approx -1,41779. Sinal oposto de f(b_0), então novo intervalo [0,25,0,5].
2. a_1=0,25,\;b_1=0,5,\;m_2=0,375.
f(0,375) \approx -0,38728 \;\Rightarrow [0,375,0,5].
3. a_2=0,375,\;b_2=0,5,\;m_3=0,4375.
f(0,4375) \approx +0,08362 \;\Rightarrow [0,375,0,4375].
4. a_3=0,375,\;b_3=0,4375,\;m_4=0,40625.
f(0,40625) \approx -0,15669 \;\Rightarrow [0,40625,0,4375].
5. a_4=0,40625,\;b_4=0,4375,\;m_5=0,421875.
f(0,421875) \approx -0,03390 \;\Rightarrow [0,421875,0,4375].
6. a_5=0,421875,\;b_5=0,4375,\;m_6=0,4296875.
f(0,4296875) \approx +0,02927 \;\Rightarrow [0,421875,0,4296875].
Agora b_6 - a_6 = 0,4296875 - 0,421875 = 0,0078125 < 0,01, então paramos. Tomamos como aproximação do zero o ponto médio
x^* = m_6 = \frac{0,421875 + 0,4296875}{2} = 0,42578125.

Passo 5

A coordenada y corresponde a e^{-2x^*}. Com 5 casas decimais,
y^* = e^{-2\cdot 0{,}42578} = e^{-0{,}85156} \approx 0{,}42676.
Logo
P\approx(0{,}42578,\;0{,}42676).

Resposta

P\approx(0{,}42578,\;0{,}42676).

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