Encontre o ponto mais próximo à origem da função y=\ln (x). Utilize o método da bisseção, com intervalo [0.1,1]. Aplique, no máximo, quatro iterações do método ou precisão de 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de mínimo da distância da curva y=\ln(x) à origem, ou seja, o ponto que minimiza
D(x)=\sqrt{x^2+(\ln(x))^2}.
Em vez de minimizar D(x), minimizamos a função ao quadrado
f(x)=x^2+(\ln(x))^2,
cujo ponto crítico satisfaz
f'(x)=0 \iff 2x + 2\,\frac{\ln(x)}{x}=0 \iff x^2 + \ln(x)=0.
Definimos então
g(x)=x^2+\ln(x)
e usamos o método da bisseção em [0.1,1], com no máximo quatro iterações ou precisão \varepsilon=10^{-2}.

Passo 2

Calculamos os sinais de g nas extremidades:
g(0.1)=0.1^2+\ln(0.1)=0.01-2.3026\approx -2.2926,
g(1)=1^2+\ln(1)=1+0=1.
Como g(0.1)<0 e g(1)>0, existe raiz de g(x)=0 em [0.1,1].

Passo 3

Iteração 1:
a_1=0.1,\quad b_1=1,\quad m_1=\frac{a_1+b_1}{2}=0.55.
g(0.55)=0.55^2+\ln(0.55)=0.3025-0.5978\approx -0.2953<0.
Como g(m_1)<0, tomamos novo intervalo [a_2,b_2]=[m_1,b_1]=[0.55,1].

Passo 4

Iteração 2:
a_2=0.55,\quad b_2=1,\quad m_2=\frac{a_2+b_2}{2}=0.775.
g(0.775)=0.775^2+\ln(0.775)=0.6006-0.2554\approx 0.3452>0.
Como g(m_2)>0, o novo intervalo é [a_3,b_3]=[a_2,m_2]=[0.55,0.775].

Passo 5

Iteração 3:
a_3=0.55,\quad b_3=0.775,\quad m_3=\frac{a_3+b_3}{2}=0.6625.
g(0.6625)=0.6625^2+\ln(0.6625)=0.4389-0.4110\approx 0.0279>0.
Como g(m_3)>0, atualizamos para [a_4,b_4]=[a_3,m_3]=[0.55,0.6625].

Passo 6

Iteração 4:
a_4=0.55,\quad b_4=0.6625,\quad m_4=\frac{a_4+b_4}{2}=0.60625.
g(0.60625)=0.60625^2+\ln(0.60625)=0.3675-0.5008\approx -0.1333<0.
Assim o intervalo final é [0.60625,0.6625] de largura 0.05625>10^{-2}, mas alcançamos 4 iterações.

Resposta

O ponto aproximado mais próximo da origem é
x\approx 0.60625, \quad y=\ln(0.60625)\approx -0.5008.

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