(Método das secantes) A aplicação do método de Newton possui, como desvantagem, a necessidade do cálculo da derivada da função a ser considerada. Uma forma de contornarmos a necessidade do cálculo analítico da derivada de f consiste em considerarmos uma aproximação para a derivada em x como
f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}, x \approx x_{0} .
Assumindo a sequência de aproximações para a raiz \left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots\right\} podemos adaptar o método de Newton como
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{\frac{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)}{\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}}=x_{k}-f\left(x_{k}\right) \frac{\left(x_{k}-x_{k-1}\right)}{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)} .
Utilize o método das secantes para aproximar a raiz cúbica de 25 . Utilize como condição inicial as duas primeiras iterações obtidas pelo Ex. 2. Considere o erro absoluto como critério de parada. Assuma uma tolerância de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método das secantes na função
f(x) = x^3 - 25
para aproximar a raiz cúbica de 25, ou seja, a solução de f(x)=0. Para aplicar o método das secantes precisamos de duas aproximações iniciais \,x_0 e \,x_1, que o enunciado diz serem “as duas primeiras iterações obtidas pelo Ex. 2”.

Passo 2

Como o problema faz referência às aproximações iniciais geradas no Ex. 2 e não nos fornece explicitamente os valores de \,x_0 e \,x_1, não temos como iniciar o método das secantes. Sem esses dois valores iniciais não é possível calcular
x_{k+1} = x_{k} - f(x_k)\, \frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}
e, portanto, não podemos prosseguir com as iterações até satisfazer a tolerância \,10^{-4}.

Resposta

Não é possível resolver o exercício porque não foram fornecidas as aproximações iniciais \,x_0 e \,x_1 (as “duas primeiras iterações do Ex. 2”), sem as quais o método das secantes não pode ser implementado.

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