O método de Newton Modificado consiste em gerar a sequência xk através de: xk+1= xk-f(xk) / f^prime(x0) onde x0 é uma aproximação inicial.
cite vantagens de desvantagens deste método em relação ao método de Newton.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “O método de Newton Modificado gera a sequência
xk+1 ;=; xk ;-;f(xk)f'(x0)
onde é a aproximação inicial. A gente precisa comparar esse método com o Newton clássico e citar vantagens e desvantagens.
Conteúdo: métodos iterativos para achar raízes de , convergência dos métodos e custo de avaliação de derivadas.

Passo 2

Antes de tudo, lembra do Newton clássico? Ele faz
xk+1 = xk ;-;f(xk)f'(xk)
Teoria rápida:
  • Se varepsilonk+1 approx C,varepsilonk^2 é suficientemente suave e , o Newton tem convergência quadrática (ordem 2), ou seja, o erro satisfaz
para grande.
  • Mas a cada iteração você precisa calcular , o que pode ser caro ou trabalhoso.

Passo 3

No Newton Modificado a gente “congela” a derivada no ponto inicial xk+1 = xk ;-;f(xk)f'(x0) :
Como é uma constante, você faz essa derivada só uma vez lá no começo e depois só avalia .

Passo 4

Convergência do modificado
  • A derivada fixa faz com que a ordem de convergência caia de 2 para 1 (linear).
  • Em vez de varepsilonk+1approx D,varepsilonk , agora tipicamente
(com se a escolha de for boa). Ou seja, você melhora o erro na mesma proporção a cada passo, não ao quadrado.

Passo 5

Vantagens do método modificado
  1. Economia de custo: calcula apenas uma vez.
  2. Implementação mais simples quando a derivada é complicada.
  3. Se você fizer muitas iterações, pode valer a pena evitar recomputar .

Passo 6

Desvantagens do método modificado
  1. Convergência linear em vez de quadrática ⇒ você precisa de muito mais iterações para chegar na mesma precisão.
  2. Sensível a escolha de : se for muito diferente de , a sequência pode até divergir.
  3. Perde eficiência quando não varia muito entre iterações (nesse caso o Newton clássico bomba melhor).

Resposta

Vantagens:
  • Derivada calculada só no início (economia de CPU/seu tempo).
  • Simplicidade de implementação para funções com derivada complexa.
Desvantagens:
  • Convergência cai de quadrática para linear ⇒ muito mais iterações.
  • Mais sensível à escolha de (pode divergir se a derivada inicial não for razoável).

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