O método de Newton Modificado consiste em gerar a sequência
através de:
onde
é uma aproximação inicial.
cite vantagens de desvantagens deste método em relação ao método de Newton.
cite vantagens de desvantagens deste método em relação ao método de Newton.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “O método de Newton Modificado gera a sequência
onde
é a aproximação inicial. A gente precisa comparar esse método com o Newton clássico e citar vantagens e desvantagens.
Conteúdo: métodos iterativos para achar raízes de , convergência dos métodos e custo de avaliação de derivadas.
Conteúdo: métodos iterativos para achar raízes de
Passo 2
Antes de tudo, lembra do Newton clássico? Ele faz
Teoria rápida:
- Se
é suficientemente suave e , o Newton tem convergência quadrática (ordem 2), ou seja, o erro satisfaz
para
grande.
- Mas a cada iteração você precisa calcular
, o que pode ser caro ou trabalhoso.
Passo 3
No Newton Modificado a gente “congela” a derivada no ponto inicial
:
Como
é uma constante, você faz essa derivada só uma vez lá no começo e depois só avalia
.
Passo 4
Convergência do modificado
- A derivada fixa faz com que a ordem de convergência caia de 2 para 1 (linear).
- Em vez de
, agora tipicamente
(com
se a escolha de
for boa). Ou seja, você melhora o erro na mesma proporção a cada passo, não ao quadrado.
Passo 5
Vantagens do método modificado
- Economia de custo: calcula
apenas uma vez. - Implementação mais simples quando a derivada é complicada.
- Se você fizer muitas iterações, pode valer a pena evitar recomputar
.
Passo 6
Desvantagens do método modificado
- Convergência linear em vez de quadrática ⇒ você precisa de muito mais iterações para chegar na mesma precisão.
- Sensível a escolha de
: se for muito diferente de , a sequência pode até divergir. - Perde eficiência quando
não varia muito entre iterações (nesse caso o Newton clássico bomba melhor).
Resposta
Vantagens:
- Derivada calculada só no início (economia de CPU/seu tempo).
- Simplicidade de implementação para funções com derivada complexa.
Desvantagens:
- Convergência cai de quadrática para linear ⇒ muito mais iterações.
- Mais sensível à escolha de
(pode divergir se a derivada inicial não for razoável).