Determine o domínio da função y=\sqrt{2^{x-2}-1}

Passo 1

O problema pede: determinar o domínio da função y=\sqrt{2^{x-2}-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 2^{x-2}-1.
  • A raiz quadrada real exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
  • A expressão 2^{x-2} está definida para todo x\in\mathbb{R} (a exponencial com base 2 aceita qualquer expoente real).

Passo 2

Definição que vamos usar (explicando a ideia): para que y seja um número real, o radicando precisa satisfazer
2^{x-2}-1\ge 0.
Isto é a condição básica de existência da raiz quadrada real: o que está dentro de \sqrt{\cdot} não pode ser negativo.

Passo 3

Reescrevendo a condição do radicando:
2^{x-2}-1\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{x-2}\ge 1.
Agora uma breve aula sobre desigualdades com exponencial: a função t\mapsto 2^{t} é estritamente crescente porque a base 2 é maior que 1. Isso significa que, para quaisquer u e v,
2^{u}\ge 2^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u\ge v.
Uma forma equivalente de raciocinar é aplicar o logaritmo na base 2. Como \log_{2} é também crescente, aplicar \log_{2} às duas partes preserva a desigualdade:
\log_{2}\bigl(2^{x-2}\bigr)\ge \log_{2}(1).

Passo 4

Usando a propriedade \log_{2}\bigl(2^{t}\bigr)=t e \log_{2}(1)=0, obtemos
x-2 \ge 0.
Aqui expliquei o que fiz: primeiro usei que \log_{2} “desfaz” a exponenciação com base 2, e que \log_{2} é crescente então a direção da desigualdade não muda.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade simples x-2\ge 0 temos
x\ge 2.
Para entender melhor, confira exemplos numéricos rápidos: se x=2 então 2^{x-2}-1=2^{0}-1=1-1=0 (raiz válida); se x=3 então 2^{1}-1=1 (raiz válida); se x=1 então 2^{-1}-1=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2} (radicando negativo, não permitido). Isso confirma que apenas valores com x\ge 2 funcionam.

Resposta

[2,\infty)

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