Resolva as inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é um produto de potências:
e . - O lado direito é
, que é uma potência de (mas isso ainda não transformamos).
A partir daqui vamos manipular as potências e usar propriedades de exponenciais para encontrar todos os valores deque satisfazem a inequação.
Passo 2
Revisão das propriedades de potências que vamos usar (com explicação didática):
- Produto de potências de mesma base: se temos
então isso é igual a . Aqui a ideia é que multiplicar potências da mesma base soma os expoentes. - Potência de potência:
. Ou seja, elevar uma potência a outra multiplica os expoentes.
Vou aplicar essas regras para reescrever a expressão da esquerda com a mesma base.
Passo 3
Observe que
é uma potência de
:
. Então
Usando
temos
Passo 4
Agora substituímos na expressão inicial:
Aplicando
obtemos (mostrando os passos da soma dos expoentes)
Calculemos o expoente:
Portanto a expressão à esquerda fica
Passo 5
Transformamos o lado direito
em potência de base
. Sabemos que
, então
Passo 6
Substituindo as transformações na inequação original temos
Agora explico a propriedade crucial: para a base
(aqui
), a função
é estritamente crescente em
. Isso significa que, se
com
, então necessariamente
. (Se
a desigualdade se inverte; é importante saber qual é o caso.) Como
, podemos comparar diretamente os expoentes.
Passo 7
Igualando os expoentes pela monotonicidade:
Agora resolvemos essa inequação linear passo a passo:
Dividindo por
(positivo, portanto não inverte a desigualdade):
Passo 8
Interpretação final: todos os
menores ou iguais a
satisfazem a inequação. Em notação de intervalo isso é
Dica rápida para a prova: sempre tente reescrever todas as potências com a mesma base; isso normalmente reduz a desigualdade a comparar expoentes usando a monotonicidade da exponencial.