Resolva as inequações exponenciais:
2^{x+1} \cdot 4^{x-1} \leq \frac{1}{32}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2^{x+1}\cdot 4^{x-1} \leq \frac{1}{32}.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é um produto de potências: 2^{x+1} e 4^{x-1}.
  • O lado direito é \frac{1}{32}, que é uma potência de 2 (mas isso ainda não transformamos).
    A partir daqui vamos manipular as potências e usar propriedades de exponenciais para encontrar todos os valores de x que satisfazem a inequação.

Passo 2

Revisão das propriedades de potências que vamos usar (com explicação didática):
  • Produto de potências de mesma base: se temos a^{u}\cdot a^{v} então isso é igual a a^{u+v}. Aqui a ideia é que multiplicar potências da mesma base soma os expoentes.
  • Potência de potência: (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}. Ou seja, elevar uma potência a outra multiplica os expoentes.
    Vou aplicar essas regras para reescrever a expressão da esquerda com a mesma base.

Passo 3

Observe que 4 é uma potência de 2: 4=2^{2}. Então
4^{x-1} = \bigl(2^{2}\bigr)^{x-1}.
Usando (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c} temos
\bigl(2^{2}\bigr)^{x-1} = 2^{2(x-1)}.

Passo 4

Agora substituímos na expressão inicial:
2^{x+1}\cdot 4^{x-1} = 2^{x+1}\cdot 2^{2(x-1)}.
Aplicando 2^{u}\cdot 2^{v}=2^{u+v} obtemos (mostrando os passos da soma dos expoentes)
2^{x+1}\cdot 2^{2(x-1)} = 2^{(x+1) + 2(x-1)}.
Calculemos o expoente:
(x+1) + 2(x-1) = x+1 + 2x -2 = 3x -1.
Portanto a expressão à esquerda fica
2^{3x-1}.

Passo 5

Transformamos o lado direito \frac{1}{32} em potência de base 2. Sabemos que 32=2^{5}, então
\frac{1}{32} = 2^{-5}.

Passo 6

Substituindo as transformações na inequação original temos
2^{3x-1} \leq 2^{-5}.
Agora explico a propriedade crucial: para a base a>1 (aqui a=2), a função a^{t} é estritamente crescente em t. Isso significa que, se a^{u}\le a^{v} com a>1, então necessariamente u\le v. (Se 0<a<1 a desigualdade se inverte; é importante saber qual é o caso.) Como 2>1, podemos comparar diretamente os expoentes.

Passo 7

Igualando os expoentes pela monotonicidade:
3x-1 \leq -5.
Agora resolvemos essa inequação linear passo a passo:
3x-1 \leq -5 \quad\Rightarrow\quad 3x \leq -5+1 = -4.
Dividindo por 3 (positivo, portanto não inverte a desigualdade):
x \leq -\tfrac{4}{3}.

Passo 8

Interpretação final: todos os x menores ou iguais a -\tfrac{4}{3} satisfazem a inequação. Em notação de intervalo isso é
(-\infty,\,-\tfrac{4}{3}].
Dica rápida para a prova: sempre tente reescrever todas as potências com a mesma base; isso normalmente reduz a desigualdade a comparar expoentes usando a monotonicidade da exponencial.

Resposta

(-\infty,\,-\tfrac{4}{3}]

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