Resolva as inequações exponenciais:
\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1} \cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{1+2 x}>\left(\frac{27}{8}\right)^{4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1}\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{1+2x}>\left(\frac{27}{8}\right)^{4x+3}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
\text{Dado: } \left(\frac{3}{2}\right)^{x+1}\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{1+2x}>\left(\frac{27}{8}\right)^{4x+3}.
\text{Procuramos: todos os }x\in\mathbb{R}\text{ que satisfazem essa desigualdade.}

Passo 2

Vamos simplificar as bases para que todas sejam potências da mesma base. Isso facilita muito porque podemos então comparar os expoentes. Primeiro observe que
9=3^{2},\quad 4=2^{2}\Rightarrow \frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2},
e
27=3^{3},\quad 8=2^{3}\Rightarrow \frac{27}{8}=\left(\frac{3}{2}\right)^{3}.
Explicando a ideia: quando escrevemos uma fração com potências iguais nos numerador e denominador, podemos agrupá-las como potência da fração. Aqui transformamos \frac{9}{4} e \frac{27}{8} em potências de \frac{3}{2}.

Passo 3

Substituímos essas expressões na inequação original. Temos
\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1}\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)^{1+2x}>\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{3}\right)^{4x+3}.
Agora usamos duas regras de potências:
  1. \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}.
  2. a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
    Aplicando 1) ao segundo e ao terceiro fatores:
\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2(1+2x)}>\left(\frac{3}{2}\right)^{3(4x+3)}.

Passo 4

Usamos a regra do produto de potências com mesma base para somar expoentes no lado esquerdo:
\text{expoente esquerdo }= (x+1)+2(1+2x).
Calculemos passo a passo:
2(1+2x)=2+4x,
logo
(x+1)+(2+4x)=x+1+2+4x=5x+3.
No lado direito, usando 1):
3(4x+3)=12x+9.
Portanto a inequação fica
\left(\frac{3}{2}\right)^{5x+3}>\left(\frac{3}{2}\right)^{12x+9}.

Passo 5

Agora usamos uma propriedade importante das funções exponenciais: se a base a é maior que 1, isto é a>1, a função a^{t} é estritamente crescente em t. Aqui a base é \frac{3}{2}, e realmente
\frac{3}{2}>1.
Logo, para a base a=\frac{3}{2} vale:
a^{u}>a^{v}\quad\Leftrightarrow\quad u>v.
Assim podemos comparar diretamente os expoentes. Portanto a inequação acima é equivalente a
5x+3>12x+9.

Passo 6

Resolvemos agora a desigualdade linear 5x+3>12x+9. Faça as operações passo a passo:
5x+3>12x+9.
Subtraindo 12x de ambos os lados:
5x-12x+3>9\quad\Rightarrow\quad -7x+3>9.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
-7x>6.
Agora dividimos por -7. Lembre-se: ao dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Assim
x<\frac{6}{-7}=\,-\frac{6}{7}.

Passo 7

Vamos fazer uma checagem rápida com dois valores para ter confiança:
  • Escolha x=-1 (que é menor que -\tfrac{6}{7}). Os expoentes tornam-se 5(-1)+3=-2 e 12(-1)+9=-3. Como -2>-3, temos \left(\tfrac{3}{2}\right)^{-2}>\left(\tfrac{3}{2}\right)^{-3}, então a desigualdade é satisfeita — ok.
  • Escolha x=0 (maior que -\tfrac{6}{7}). Os expoentes são 3 e 9; 3>9 é falso, então a desigualdade não se mantém — ok.

Resposta

x<-\frac{6}{7}

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