Resolva as inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Passo 2
Vamos simplificar as bases para que todas sejam potências da mesma base. Isso facilita muito porque podemos então comparar os expoentes. Primeiro observe que
e
Explicando a ideia: quando escrevemos uma fração com potências iguais nos numerador e denominador, podemos agrupá-las como potência da fração. Aqui transformamos
e
em potências de
.
Passo 3
Substituímos essas expressões na inequação original. Temos
Agora usamos duas regras de potências:
-
. -
.
Aplicando 1) ao segundo e ao terceiro fatores:
Passo 4
Usamos a regra do produto de potências com mesma base para somar expoentes no lado esquerdo:
Calculemos passo a passo:
logo
No lado direito, usando 1):
Portanto a inequação fica
Passo 5
Agora usamos uma propriedade importante das funções exponenciais: se a base
é maior que
, isto é
, a função
é estritamente crescente em
. Aqui a base é
, e realmente
Logo, para a base
vale:
Assim podemos comparar diretamente os expoentes. Portanto a inequação acima é equivalente a
Passo 6
Resolvemos agora a desigualdade linear
. Faça as operações passo a passo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora dividimos por
. Lembre-se: ao dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Assim
Passo 7
Vamos fazer uma checagem rápida com dois valores para ter confiança:
- Escolha
(que é menor que ). Os expoentes tornam-se e . Como , temos , então a desigualdade é satisfeita — ok. - Escolha
(maior que ). Os expoentes são e ; é falso, então a desigualdade não se mantém — ok.