Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa de
Isso é conteúdo de funções reais: a gente vai precisar lembrar o que é domínio (onde a função tá definida), imagem (valores que a função pode assumir) e o que significa ser invertível (ter uma função inversa). Também vamos precisar usar injetividade e bijeção pra construir a inversa direitinho.
Passo 2
Domínio
Como é um polinômio, não tem divisão por zero nem raiz de índice par de número negativo: tá definido para todo número real.
Então
Como
Então
Passo 3
Imagem
Imagem é o conjunto de todos os valores de saída . Como
para qualquer
, a função nunca dá valor negativo.
Logo
Imagem é o conjunto de todos os valores de saída
Logo
Passo 4
Invertendo a função
- Pra ter inversa, a função precisa ser bijetora (injetora + sobrejetora).
- Em
inteira, não é injetora (por exemplo, ). - A gente restringe o domínio a
. Nesse domínio , é injetora e cobre toda imagem , virando bijeção. - Agora resolve
para
:
- Substituindo
por (nome da variável da inversa), a gente obtém
Resposta
Domínio de
:
Imagem de :
Função inversa (considerando ):
Imagem de
Função inversa (considerando