Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
f(x)=x^2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa de
f(x)=x^2
Isso é conteúdo de funções reais: a gente vai precisar lembrar o que é domínio (onde a função tá definida), imagem (valores que a função pode assumir) e o que significa ser invertível (ter uma função inversa). Também vamos precisar usar injetividade e bijeção pra construir a inversa direitinho.

Passo 2

Domínio
Como Dom(f)=R é um polinômio, não tem divisão por zero nem raiz de índice par de número negativo: tá definido para todo número real.
Então

Passo 3

Imagem
Imagem é o conjunto de todos os valores de saída Im(f)=[0,infty) . Como para qualquer , a função nunca dá valor negativo.
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Passo 4

Invertendo a função
  1. Pra ter inversa, a função precisa ser bijetora (injetora + sobrejetora).
  2. Em y=x^2, x>=0 inteira, x=raizy não é injetora (por exemplo, f^-1(x)=raizx, xin[0,infty) ).
  3. A gente restringe o domínio a . Nesse domínio , é injetora e cobre toda imagem , virando bijeção.
  4. Agora resolve
para :
  1. Substituindo por (nome da variável da inversa), a gente obtém

Resposta

Domínio de f^-1(x)=raizx :
Imagem de :
Função inversa (considerando ):

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