Determine o dominio das seguintes funções e faça o estudo de sinal:
f(x)=x+2x-1

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente encontrar o domínio e fazer o estudo de sinal da função
f(x)=x+2x-1,
Isso é conteúdo de função racional:
- Pra domínio, a gente só precisa lembrar que não pode dividir por zero.
- Pro estudo de sinal, a gente vai ver onde o numerador e o denominador mudam de sinal (raízes e proibições) e montar um “mapinha” dos intervalos.

Passo 2

Domínio
  1. A gente olha o denominador x-1 e sabe que não pode ser zero.
  2. Então exige-se
x-1neq 0Longrightarrow xneq 1,
3) Não tem mais nenhum problema (nem raiz de índice par, nem log, nada).
Logo o domínio é
xinRmid xneq 1 = (-infty,1)cup(1,infty),

Passo 3

Encontrar zeros e pontos críticos
  1. Zero do numerador: x+2=0;Longrightarrow;x=-2,
    Nesse ponto f(x)=0.
    2) O ponto x=1 não pertence ao domínio, é uma assíntota vertical (a gente já viu isso no passo 2).

Passo 4

Estudo de sinal
Vamos ver o sinal de numerador e denominador em cada intervalo decidido pelos pontos -2 e 1.
Intervalos: (-infty,-2), (-2,1) e (1,infty).
  1. Numerador x+2:
    • Se x<-2, x+2<0.
    • Se x>-2, x+2>0.
  2. Denominador x-1:
    • Se x<1, x-1<0.
    • Se x>1, x-1>0.
Agora o sinal de f(x)=numden:
  • Em (-infty,-2): numerador <0 e denominador <0 ⇒ quociente >0.
  • Em (-2,1): numerador >0? Na verdade, se x está entre -2 e 1, veja por exemplo 0: 0+2>0, mas 0-1<0, então +/– ⇒ quociente <0.
  • Em (1,infty): numerador >0 e denominador >0 ⇒ quociente >0.

Resposta

Domínio: (-infty,1)cup(1,infty).
Sinal de f(x):
  • f(x)>0 para xin(-infty,-2)cup(1,infty)
  • f(x)=0 em x=-2
  • f(x)<0 para xin(-2,1).

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