E6: Determine duas raízes positivas de
com precisão de
, usando o método de Newton
Passo 1
O enunciado pede: determinar duas raízes positivas de
com precisão
, usando o método de Newton.
Informações fornecidas e metas explícitas:
Informações fornecidas e metas explícitas:
- A função é
. - Queremos duas raízes positivas (ou seja, valores
tais que ). - Precisão exigida: erro menor ou igual a
. - Método exigido: método de Newton (iterações de Newton).
Passo 2
Breve explicação do método de Newton (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
- O método de Newton usa iterações da forma
onde
é a derivada de
. A ideia é linearizar
em torno de
e tomar a raiz da reta tangente como nova aproximação.
- Critério de parada que usaremos: parar quando
(ou seja, quando a mudança na aproximação ficar menor que ). Isso garante que a aproximação não se altera significativamente e, na prática, dá a precisão pedida. - Precisamos da derivada de
. Usando a regra do poder: se , então
Aqui cada termo foi derivado: a derivada de
é
, de
é
, de
é
, e de
é
.
- Antes de aplicar Newton é útil localizar intervalos onde há mudança de sinal (logo há raiz). Calculamos alguns valores para identificar onde estão as duas raízes positivas:
Como
e
, há uma raiz em
. Como
e
, há outra raiz em
. Assim vou procurar uma raiz em
e outra em
. Escolho palpites iniciais (pontos iniciais
) razoáveis: para a raiz em
uso
; para a raiz em
uso
. Esses pontos são internos aos intervalos e costumam dar boa convergência.
Passo 3
Iterações de Newton para a primeira raiz (intervalo
,
). Vou mostrar os cálculos intermédios (potências,
,
) para que você veja como aplicar na prova.
- Iteração 0 (início):
.
Calculo as potências:Calculo e :
Aplico Newton:
- Iteração 1:
.
Calculo potências (cálculos diretos para cada potência):
Calculo
e
:
Aplico Newton:
(Observe o sinal:
e
são ambos negativos, o quociente foi positivo, daí a subtração resultou em diminuição.)
- Iteração 2:
.
Calculo potências aproximadas (mostrando como calcular sem calculadora, por aproximação controlada):Calculo e :
Aplico Newton:
Agora a diferença entre iterações é
então podemos parar: atingimos a precisão pedida. A primeira raiz aproximada é
(com erro menor que
).
Passo 4
Observação pedagógica rápida (como aplicar na prova):
- Em prova, calcule
e passo a passo (potências, somas) e aplique a fórmula de Newton. Use como critério de parada ou . - Importante: escolha
dentro do intervalo onde a função muda de sinal; isso costuma garantir boa convergência para funções polinomiais bem comportadas.
Passo 5
Iterações de Newton para a segunda raiz (intervalo
,
). Faço os mesmos passos detalhados.
- Iteração 0:
.
Calculo potências:Calculo e :
Aplico Newton:
- Iteração 1:
.
Calculo potências aproximadas (como mostrado antes):Calculo e :
Aplico Newton:
- Iteração 2:
.
Calculo potências aproximadas:Calculo e :
Aplico Newton:
Diferença entre iterações:
então paramos. A segunda raiz aproximada é
(com erro menor que
).