E6: Determine duas raízes positivas de f(x)=x^{4}+2 x^{3}-7 x^{2}+3 com precisão de \varepsilon \leq 10^{-3}, usando o método de Newton

Passo 1

O enunciado pede: determinar duas raízes positivas de f(x)=x^{4}+2x^{3}-7x^{2}+3 com precisão \varepsilon \leq 10^{-3}, usando o método de Newton.
Informações fornecidas e metas explícitas:
  • A função é f(x)=x^{4}+2x^{3}-7x^{2}+3.
  • Queremos duas raízes positivas (ou seja, valores x>0 tais que f(x)=0).
  • Precisão exigida: erro menor ou igual a \varepsilon=10^{-3}.
  • Método exigido: método de Newton (iterações de Newton).

Passo 2

Breve explicação do método de Newton (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
  • O método de Newton usa iterações da forma
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. A ideia é linearizar f em torno de x_n e tomar a raiz da reta tangente como nova aproximação.
  • Critério de parada que usaremos: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon (ou seja, quando a mudança na aproximação ficar menor que 10^{-3}). Isso garante que a aproximação não se altera significativamente e, na prática, dá a precisão pedida.
  • Precisamos da derivada de f. Usando a regra do poder: se f(x)=x^{4}+2x^{3}-7x^{2}+3, então
f'(x)=4x^{3}+6x^{2}-14x.
Aqui cada termo foi derivado: a derivada de x^{4} é 4x^{3}, de 2x^{3} é 6x^{2}, de -7x^{2} é -14x, e de 3 é 0.
  • Antes de aplicar Newton é útil localizar intervalos onde há mudança de sinal (logo há raiz). Calculamos alguns valores para identificar onde estão as duas raízes positivas:
f(0)=3,\qquad f(1)=1+2-7+3=-1,\qquad f(2)=16+16-28+3=7.
Como f(0)=3>0 e f(1)=-1<0, há uma raiz em (0,1). Como f(1)=-1<0 e f(2)=7>0, há outra raiz em (1,2). Assim vou procurar uma raiz em (0,1) e outra em (1,2). Escolho palpites iniciais (pontos iniciais x_0) razoáveis: para a raiz em (0,1) uso x_0=0,5; para a raiz em (1,2) uso x_0=1,7. Esses pontos são internos aos intervalos e costumam dar boa convergência.

Passo 3

Iterações de Newton para a primeira raiz (intervalo (0,1), x_0=0,5). Vou mostrar os cálculos intermédios (potências, f(x), f'(x)) para que você veja como aplicar na prova.
  • Iteração 0 (início): x_0=0,5.
    Calculo as potências: x_0^{2}=0,5^{2}=0,25,\qquad x_0^{3}=0,5^{3}=0,125,\qquad x_0^{4}=0,5^{4}=0,0625.Calculo f(x_0) e f'(x_0): f(0,5)=0,0625+2\cdot0,125-7\cdot0,25+3=0,0625+0,25-1,75+3=1,5625,
f'(0,5)=4\cdot0,125+6\cdot0,25-14\cdot0,5=0,5+1,5-7=-5.
Aplico Newton:
x_{1}=0,5-\frac{1,5625}{-5}=0,5+0,3125=0,8125.
  • Iteração 1: x_1=0,8125.
    Calculo potências (cálculos diretos para cada potência): x_1^{2}=0,8125^{2}=0,66015625,
x_1^{3}=0,66015625\cdot0,8125=0,536376953125,
x_1^{4}=0,536376953125\cdot0,8125=0,435089111328125.
Calculo f(x_1) e f'(x_1):
f(0,8125)=0,435089111328125+2\cdot0,536376953125-7\cdot0,66015625+3
\quad=0,435089111328125+1,07275390625-4,62109375+3=-0,113250732421875,
f'(0,8125)=4\cdot0,536376953125+6\cdot0,66015625-14\cdot0,8125
\quad=2,1455078125+3,9609375-11,375=-5,2685546875.
Aplico Newton:
x_{2}=0,8125-\frac{-0,113250732421875}{-5,2685546875} =0,8125-\frac{0,113250732421875}{5,2685546875}\approx0,7910044.
(Observe o sinal: f(x_1) e f'(x_1) são ambos negativos, o quociente foi positivo, daí a subtração resultou em diminuição.)
  • Iteração 2: x_2\approx0,7910044.
    Calculo potências aproximadas (mostrando como calcular sem calculadora, por aproximação controlada): x_2^{2}\approx0,625687961,\quad x_2^{3}\approx0,49492193,\quad x_2^{4}\approx0,391485425.Calculo f(x_2) e f'(x_2): f(x_2)\approx0,391485425+2\cdot0,49492193-7\cdot0,625687961+3\approx0,00151356,
f'(x_2)\approx4\cdot0,49492193+6\cdot0,625687961-14\cdot0,7910044\approx-5,340246114.
Aplico Newton:
\Delta=\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx\frac{0,00151356}{-5,340246114}\approx-0,0002835,
x_{3}=x_2-\Delta\approx0,7910044-(-0,0002835)\approx0,7912879.
Agora a diferença entre iterações é
|x_{3}-x_2|\approx0,0002835<10^{-3},
então podemos parar: atingimos a precisão pedida. A primeira raiz aproximada é x\approx0,7913 (com erro menor que 10^{-3}).

Passo 4

Observação pedagógica rápida (como aplicar na prova):
  • Em prova, calcule f(x_n) e f'(x_n) passo a passo (potências, somas) e aplique a fórmula de Newton. Use como critério de parada |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon ou |f(x_{n+1})|<\varepsilon.
  • Importante: escolha x_0 dentro do intervalo onde a função muda de sinal; isso costuma garantir boa convergência para funções polinomiais bem comportadas.

Passo 5

Iterações de Newton para a segunda raiz (intervalo (1,2), x_0=1,7). Faço os mesmos passos detalhados.
  • Iteração 0: x_0=1,7.
    Calculo potências: x_0^{2}=1,7^{2}=2,89,\quad x_0^{3}=1,7^{3}=4,913,\quad x_0^{4}=1,7^{4}=8,3521.Calculo f(x_0) e f'(x_0): f(1,7)=8,3521+2\cdot4,913-7\cdot2,89+3=8,3521+9,826-20,23+3\approx0,9481,
f'(1,7)=4\cdot4,913+6\cdot2,89-14\cdot1,7=19,652+17,34-23,8\approx13,192.
Aplico Newton:
x_{1}=1,7-\frac{0,9481}{13,192}\approx1,7-0,07187\approx1,62813.
  • Iteração 1: x_1\approx1,62813.
    Calculo potências aproximadas (como mostrado antes): x_1^{2}\approx2,650807,\quad x_1^{3}\approx4,3158604,\quad x_1^{4}\approx7,026784.Calculo f(x_1) e f'(x_1): f(x_1)\approx7,026784+2\cdot4,3158604-7\cdot2,650807+3\approx0,102856,
f'(x_1)\approx4\cdot4,3158604+6\cdot2,650807-14\cdot1,62813\approx10,3744636.
Aplico Newton:
\Delta=\frac{0,102856}{10,3744636}\approx0,009914,
x_{2}=1,62813-0,009914\approx1,618216.
  • Iteração 2: x_2\approx1,618216.
    Calculo potências aproximadas: x_2^{2}\approx2,6186225,\quad x_2^{3}\approx4,237496,\quad x_2^{4}\approx6,857184.Calculo f(x_2) e f'(x_2): f(x_2)\approx6,857184+2\cdot4,237496-7\cdot2,6186225+3\approx0,0018185,
f'(x_2)\approx4\cdot4,237496+6\cdot2,6186225-14\cdot1,618216\approx10,006695.
Aplico Newton:
\Delta=\frac{0,0018185}{10,006695}\approx0,0001817,
x_{3}=1,618216-0,0001817\approx1,6180343.
Diferença entre iterações:
|x_{3}-x_2|\approx0,0001817<10^{-3},
então paramos. A segunda raiz aproximada é x\approx1,6180 (com erro menor que 10^{-3}).

Resposta

x\approx0,7913
x\approx1,6180

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