E1: Use o método da bisseção para determinar a raiz de
no intervalo
com precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método da bisseção para determinar a raiz de
no intervalo
com precisão
.
Dados fornecidos:
Passo 2
Explicação do método da bisseção (passo-a-passo e ideia por trás):
- A bisseção procura uma raiz de uma função contínua
num intervalo onde e têm sinais opostos (ou seja, ). Pela continuidade, existe pelo menos uma raiz nessa faixa. - Em cada iteração calculamos o ponto médio
- Avaliamos
. Se encontramos a raiz exata. Se tem o mesmo sinal que , a raiz está no subintervalo ; caso contrário, está em . Substituímos o intervalo pelo subintervalo que contém a raiz e repetimos. - Controle de erro: após
iterações o comprimento do intervalo é . O erro máximo ao usar o ponto médio como aproximação da raiz é no máximo metade do comprimento do intervalo:
Portanto, para garantir
basta iterar até que
ou, equivalentemente, parar quando o semi‑intervalo atual
.
Passo 3
Primeiro verifico se existe troca de sinal em
calculando
e
.
Como
e
, há troca de sinal e a bisseção pode ser aplicada.
Passo 4
Iteração 1:
Calculo
Como
e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração 2:
Calculo
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Passo 6
Iteração 3:
Calculo (aproximação):
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Passo 7
Iteração 4:
Calculo (aproximação):
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Passo 8
Iteração 5:
Calculo (aproximação):
Aqui
, então a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Passo 9
Iteração 6:
Calculo (aproximação):
Aqui
, então a raiz está em
.
Verificação do critério de parada: o semi‑intervalo atual é
Como
, a condição
com
está satisfeita. Portanto posso parar e tomar
como aproximação da raiz com a precisão exigida.
Observação: nas avaliações de
usei aproximações de
com 6 casas decimais para calcular os produtos; os sinais são robustos e suficientes para decidir o subintervalo em cada iteração.