E1: Use o método da bisseção para determinar a raiz de f(x)=x \ln (x)-3.2 no intervalo [2,3] com precisão de \varepsilon \leq 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método da bisseção para determinar a raiz de f(x)=x\ln(x)-3{,}2 no intervalo [2,3] com precisão \varepsilon \le 10^{-2}.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{função: } f(x)=x\ln(x)-3{,}2,\\\ &\text{intervalo inicial: } a_0=2,\; b_0=3,\\\ &\text{tolerância desejada: } \varepsilon \le 10^{-2}. \end{aligned}çãâ

Passo 2

Explicação do método da bisseção (passo-a-passo e ideia por trás):
  • A bisseção procura uma raiz de uma função contínua f num intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)f(b)<0). Pela continuidade, existe pelo menos uma raiz nessa faixa.
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Avaliamos f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 encontramos a raiz exata. Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(a), a raiz está no subintervalo [c,b]; caso contrário, está em [a,c]. Substituímos o intervalo pelo subintervalo que contém a raiz e repetimos.
  • Controle de erro: após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n}. O erro máximo ao usar o ponto médio c_n como aproximação da raiz é no máximo metade do comprimento do intervalo:
\left|x^\star-c_n\right| \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Portanto, para garantir \left|x^\star-c_n\right|\le \varepsilon basta iterar até que
\frac{b-a}{2^{n+1}} \le \varepsilon
ou, equivalentemente, parar quando o semi‑intervalo atual (b_k-a_k)/2 \le \varepsilon.

Passo 3

Primeiro verifico se existe troca de sinal em [2,3] calculando f(2) e f(3).
f(2)=2\ln(2)-3{,}2 \approx 2\cdot 0{,}693147 - 3{,}2 \approx 1{,}386294 - 3{,}2 = -1{,}813706.
f(3)=3\ln(3)-3{,}2 \approx 3\cdot 1{,}098612 - 3{,}2 \approx 3{,}295837 - 3{,}2 = 0{,}095837.
Como f(2)\approx -1{,}813706<0 e f(3)\approx 0{,}095837>0, há troca de sinal e a bisseção pode ser aplicada.

Passo 4

Iteração 1:
c_1=\frac{2+3}{2}=2{,}5.
Calculo
f(2{,}5)=2{,}5\ln(2{,}5)-3{,}2 \approx 2{,}5\cdot 0{,}916291 - 3{,}2 \approx 2{,}290727 - 3{,}2 = -0{,}909273.
Como f(2{,}5)<0 e f(3)>0, a raiz está em [2{,}5,3]. Novo intervalo: a_1=2{,}5,\; b_1=3.

Passo 5

Iteração 2:
c_2=\frac{2{,}5+3}{2}=2{,}75.
Calculo
f(2{,}75)=2{,}75\ln(2{,}75)-3{,}2 \approx 2{,}75\cdot 1{,}011601 - 3{,}2 \approx 2{,}781903 - 3{,}2 = -0{,}418097.
Como f(2{,}75)<0, a raiz está em [2{,}75,3]. Novo intervalo: a_2=2{,}75,\; b_2=3.

Passo 6

Iteração 3:
c_3=\frac{2{,}75+3}{2}=2{,}875.
Calculo (aproximação):
f(2{,}875)=2{,}875\ln(2{,}875)-3{,}2 \approx 2{,}875\cdot 1{,}055107 - 3{,}2 \approx 3{,}033431 - 3{,}2 = -0{,}166569.
Como f(2{,}875)<0, a raiz está em [2{,}875,3]. Novo intervalo: a_3=2{,}875,\; b_3=3.

Passo 7

Iteração 4:
c_4=\frac{2{,}875+3}{2}=2{,}9375.
Calculo (aproximação):
f(2{,}9375)=2{,}9375\ln(2{,}9375)-3{,}2 \approx 2{,}9375\cdot 1{,}076859 - 3{,}2 \approx 3{,}163275 - 3{,}2 = -0{,}036725.
Como f(2{,}9375)<0, a raiz está em [2{,}9375,3]. Novo intervalo: a_4=2{,}9375,\; b_4=3.

Passo 8

Iteração 5:
c_5=\frac{2{,}9375+3}{2}=2{,}96875.
Calculo (aproximação):
f(2{,}96875)=2{,}96875\ln(2{,}96875)-3{,}2 \approx 2{,}96875\cdot 1{,}087736 - 3{,}2 \approx 3{,}229215 - 3{,}2 = 0{,}029215.
Aqui f(2{,}96875)>0, então a raiz está em [2{,}9375,2{,}96875]. Novo intervalo: a_5=2{,}9375,\; b_5=2{,}96875.

Passo 9

Iteração 6:
c_6=\frac{2{,}9375+2{,}96875}{2}=2{,}953125.
Calculo (aproximação):
f(2{,}953125)=2{,}953125\ln(2{,}953125)-3{,}2 \approx 2{,}953125\cdot 1{,}082298 - 3{,}2 \approx 3{,}196160 - 3{,}2 = -0{,}003840.
Aqui f(2{,}953125)<0, então a raiz está em [2{,}953125,2{,}96875].
Verificação do critério de parada: o semi‑intervalo atual é
\frac{b_6-a_6}{2}=\frac{2{,}96875-2{,}953125}{2}=0{,}0078125.
Como 0{,}0078125 \le 0{,}01, a condição \left|x^\star-c_6\right|\le \varepsilon com \varepsilon=10^{-2} está satisfeita. Portanto posso parar e tomar c_6 como aproximação da raiz com a precisão exigida.
Observação: nas avaliações de f usei aproximações de \ln(x) com 6 casas decimais para calcular os produtos; os sinais são robustos e suficientes para decidir o subintervalo em cada iteração.

Resposta

\;x \approx 2{,}953125

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