E2: Use o método da bisseção para determinar o ponto de insterseção das curvas
e
com precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bisseção para determinar o(s) ponto(s) de interseção das curvas
e
com precisão
.
Informações dadas e o que precisamos achar:
Informações dadas e o que precisamos achar:
- As funções são
e . - Interseção significa resolver
. - Precisamos encontrar as raízes da função diferença e fornecer o(s) ponto(s) de interseção com erro máximo
. - Não foi dado método específico além de “método da bisseção”; portanto usaremos a bisseção clássica, parando quando o erro do ponto médio for
.
Passo 2
Transformação do problema em raiz de uma única função. Para achar
tal que
definimos a função diferença
As interseções correspondem às raízes de
, i.e. às soluções de
.
Breve explicação didática do método da bisseção (pra você decorar e usar na prova):
- Suponha que conhecemos um intervalo
tal que e têm sinais opostos (ou seja ). Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em . - Pegamos o ponto médio
e avaliamos . - Se
já achamos a raiz. - Se
tem o mesmo sinal de , então a raiz está em . - Caso contrário, a raiz está em
.
- Se
- Repetimos, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Se o comprimento atual é
, após iterações fica . - Critério de parada usado aqui: parar quando o erro da aproximação pelo ponto médio, que é menor ou igual a metade do comprimento do intervalo atual, satisfizer
Praticamente, paramos quando a meia- largura do intervalo
. A aproximação final é o ponto médio do último intervalo.
Passo 3
Encontrar intervalos iniciais contendo as raízes (procurando mudanças de sinal de
).
Calculo rápido de valores inteiros/seminteiros para localizar mudanças de sinal:
Calculo rápido de valores inteiros/seminteiros para localizar mudanças de sinal:
Com isso vemos mudanças de sinal em:
-
porque e (há pelo menos uma raiz aí). -
porque e . -
porque e .
Ou seja, existem três raízes reais, uma em cada um desses intervalos. Vamos aplicar a bisseção separadamente em cada intervalo até obter precisão
. Vou mostrar as iterações importantes (ponto médio, valor de
e nova escolha de intervalo) e parar quando a meia-largura do intervalo for
.
Passo 4
Aplicando bisseção na raiz em
.
Definimos
,
. Já temos
,
.
Iterações (mostro o ponto médio
,
e o novo intervalo):
-
. (negativo) ⇒ novo intervalo . -
. (negativo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. Neste ponto é negativo (interpolações e monotonicidade indicam troca de sinal), portanto novo intervalo é .
Depois da iteração 9 o comprimento do intervalo é
portanto a meia-largura é
. Assim paramos. A aproximação final da raiz é o ponto médio do último intervalo:
Passo 5
Aplicando bisseção na raiz em
.
Definimos
,
. Já temos
,
.
Iterações (ponto médio,
e novo intervalo):
-
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. é positivo (pequeno), então o novo intervalo é .
O comprimento do intervalo após esta iteração é
meia-largura
. Já atingimos a precisão exigida. Tomamos o ponto médio do último intervalo como aproximação:
Passo 6
Aplicando bisseção na raiz em
.
Definimos
,
. Já temos
,
.
Iterações:
-
. (negativo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. (positivo) ⇒ . -
. (negativo) ⇒ . -
. é positivo (pequeno), logo novo intervalo .
Agora o comprimento do intervalo é
meia-largura
. Portanto parámos. A aproximação final para a raiz é o ponto médio do último intervalo:
Passo 7
Interpretando as raízes como pontos de interseção entre
e
.
Para cada raiz
a ordenada do ponto de interseção é
. Vou dar os
obtidos pela bisseção e os
correspondentes (valores aproximados com precisão compatível com
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses
satisfazem
, porque em cada caso a meia-largura do intervalo final foi
.