E2: Use o método da bisseção para determinar o ponto de insterseção das curvas f(x)= x^{3}-2 x+1 e g(x)=x^{2} com precisão de \varepsilon \leq 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bisseção para determinar o(s) ponto(s) de interseção das curvas f(x)=x^{3}-2x+1 e g(x)=x^{2} com precisão \varepsilon \leq 10^{-3}.
Informações dadas e o que precisamos achar:
  • As funções são f(x)=x^{3}-2x+1 e g(x)=x^{2}.
  • Interseção significa resolver f(x)=g(x).
  • Precisamos encontrar as raízes da função diferença e fornecer o(s) ponto(s) de interseção com erro máximo \varepsilon \leq 10^{-3}.
  • Não foi dado método específico além de “método da bisseção”; portanto usaremos a bisseção clássica, parando quando o erro do ponto médio for \leq\varepsilon.

Passo 2

Transformação do problema em raiz de uma única função. Para achar x tal que f(x)=g(x) definimos a função diferença
h(x)=f(x)-g(x)=x^{3}-x^{2}-2x+1.
As interseções correspondem às raízes de h(x), i.e. às soluções de h(x)=0.
Breve explicação didática do método da bisseção (pra você decorar e usar na prova):
  • Suponha que conhecemos um intervalo [a,b] tal que h(a) e h(b) têm sinais opostos (ou seja h(a)\cdot h(b)<0). Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Pegamos o ponto médio m=(a+b)/2 e avaliamos h(m).
    • Se h(m)=0 já achamos a raiz.
    • Se h(m) tem o mesmo sinal de h(a), então a raiz está em [m,b].
    • Caso contrário, a raiz está em [a,m].
  • Repetimos, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Se o comprimento atual é L, após n iterações fica L/2^{n}.
  • Critério de parada usado aqui: parar quando o erro da aproximação pelo ponto médio, que é menor ou igual a metade do comprimento do intervalo atual, satisfizer
\frac{b-a}{2^{n+1}}\le \varepsilon.
Praticamente, paramos quando a meia- largura do intervalo \le \varepsilon. A aproximação final é o ponto médio do último intervalo.

Passo 3

Encontrar intervalos iniciais contendo as raízes (procurando mudanças de sinal de h).
Calculo rápido de valores inteiros/seminteiros para localizar mudanças de sinal:
\begin{aligned} h(-2)&=(-8)-4+4+1=-7,\\\ h(-1)&=(-1)-1+2+1=1,\\\ h(0)&=1,\\\ h(0{,}5)&=(0{,}125)-(0{,}25)-1+1=-0{,}125,\\\ h(1)&=1-1-2+1=-1,\\\ h(2)&=8-4-4+1=1. \end{aligned}
Com isso vemos mudanças de sinal em:
  • [ -2,\,-1] porque h(-2)=-7 e h(-1)=1 (há pelo menos uma raiz aí).
  • [0,\,0{,}5] porque h(0)=1 e h(0{,}5)=-0{,}125.
  • [1,\,2] porque h(1)=-1 e h(2)=1.
Ou seja, existem três raízes reais, uma em cada um desses intervalos. Vamos aplicar a bisseção separadamente em cada intervalo até obter precisão \varepsilon\le 10^{-3}. Vou mostrar as iterações importantes (ponto médio, valor de h e nova escolha de intervalo) e parar quando a meia-largura do intervalo for \le 10^{-3}.

Passo 4

Aplicando bisseção na raiz em [ -2,\,-1].
Definimos a=-2, b=-1. Já temos h(a)=-7, h(b)=1.
Iterações (mostro o ponto médio m, h(m) e o novo intervalo):
  1. m=-1{,}5. h(-1{,}5)=-1{,}625 (negativo) ⇒ novo intervalo [-1{,}5,\,-1].
  2. m=-1{,}25. h(-1{,}25)=-0{,}015625 (negativo) ⇒ [-1{,}25,\,-1].
  3. m=-1{,}125. h(-1{,}125)=0{,}560546875 (positivo) ⇒ [-1{,}25,\,-1{,}125].
  4. m=-1{,}1875. h(-1{,}1875)=0{,}290283203125 (positivo) ⇒ [-1{,}25,\,-1{,}1875].
  5. m=-1{,}21875. h(-1{,}21875)=0{,}141876220703125 (positivo) ⇒ [-1{,}25,\,-1{,}21875].
  6. m=-1{,}234375. h(-1{,}234375)=0{,}06508636474609375 (positivo) ⇒ [-1{,}25,\,-1{,}234375].
  7. m=-1{,}2421875. h(-1{,}2421875)=0{,}02396392822265625 (positivo) ⇒ [-1{,}25,\,-1{,}2421875].
  8. m=-1{,}24609375. h(-1{,}24609375)=0{,}0042247772216796875 (positivo) ⇒ [-1{,}25,\,-1{,}24609375].
  9. m=-1{,}248046875. Neste ponto h(m) é negativo (interpolações e monotonicidade indicam troca de sinal), portanto novo intervalo é [-1{,}248046875,\,-1{,}24609375].
Depois da iteração 9 o comprimento do intervalo é
b-a = -1{,}24609375 - (-1{,}248046875)=0{,}001953125,
portanto a meia-largura é 0{,}0009765625 \le 10^{-3}. Assim paramos. A aproximação final da raiz é o ponto médio do último intervalo:
x_1 \approx m_1 = -1{,}2470703125.

Passo 5

Aplicando bisseção na raiz em [0,\,0{,}5].
Definimos a=0, b=0{,}5. Já temos h(a)=1, h(b)=-0{,}125.
Iterações (ponto médio, h e novo intervalo):
  1. m=0{,}25. h(0{,}25)=0{,}453125 (positivo) ⇒ [0{,}25,\,0{,}5].
  2. m=0{,}375. h(0{,}375)=0{,}162109375 (positivo) ⇒ [0{,}375,\,0{,}5].
  3. m=0{,}4375. h(0{,}4375)=0{,}017333984375 (positivo) ⇒ [0{,}4375,\,0{,}5].
  4. m=0{,}46875. h(0{,}46875)=-0{,}0540771484375 (negativo) ⇒ [0{,}4375,\,0{,}46875].
  5. m=0{,}453125. h(0{,}453125)=-0{,}01834869384765625 (negativo) ⇒ [0{,}4375,\,0{,}453125].
  6. m=0{,}4453125. h(0{,}4453125)=-0{,}000705718994140625 (negativo) ⇒ [0{,}4375,\,0{,}4453125].
  7. m=0{,}44140625. h(0{,}44140625)=0{,}008275089263916016 (positivo) ⇒ [0{,}44140625,\,0{,}4453125].
  8. m=0{,}443359375. h(0{,}443359375)\approx 0{,}0038597583770751953 (positivo) ⇒ [0{,}443359375,\,0{,}4453125].
  9. m=0{,}4443359375. h(0{,}4443359375) é positivo (pequeno), então o novo intervalo é [0{,}4443359375,\,0{,}4453125].
O comprimento do intervalo após esta iteração é
b-a=0{,}4453125-0{,}4443359375=0{,}0009765625,
meia-largura =0{,}00048828125 \le 10^{-3}. Já atingimos a precisão exigida. Tomamos o ponto médio do último intervalo como aproximação:
x_2 \approx m_2 = 0{,}44482421875.

Passo 6

Aplicando bisseção na raiz em [1,\,2].
Definimos a=1, b=2. Já temos h(a)=-1, h(b)=1.
Iterações:
  1. m=1{,}5. h(1{,}5)=-0{,}875 (negativo) ⇒ [1{,}5,\,2].
  2. m=1{,}75. h(1{,}75)=-0{,}203125 (negativo) ⇒ [1{,}75,\,2].
  3. m=1{,}875. h(1{,}875)=0{,}326171875 (positivo) ⇒ [1{,}75,\,1{,}875].
  4. m=1{,}8125. h(1{,}8125)=0{,}0419921875 (positivo) ⇒ [1{,}75,\,1{,}8125].
  5. m=1{,}78125. h(1{,}78125)=-0{,}08294677734375 (negativo) ⇒ [1{,}78125,\,1{,}8125].
  6. m=1{,}796875. h(1{,}796875)=-0{,}0226287841796875 (negativo) ⇒ [1{,}796875,\,1{,}8125].
  7. m=1{,}8046875. h(1{,}8046875)=0{,}011241912841796875 (positivo) ⇒ [1{,}796875,\,1{,}8046875].
  8. m=1{,}80078125. h(1{,}80078125)=-0{,}006075501441955566 (negativo) ⇒ [1{,}80078125,\,1{,}8046875].
  9. m=1{,}802734375. h(1{,}802734375) é positivo (pequeno), logo novo intervalo [1{,}80078125,\,1{,}802734375].
Agora o comprimento do intervalo é
b-a=1{,}802734375-1{,}80078125=0{,}001953125,
meia-largura =0{,}0009765625 \le 10^{-3}. Portanto parámos. A aproximação final para a raiz é o ponto médio do último intervalo:
x_3 \approx m_3 = 1{,}8017578125.

Passo 7

Interpretando as raízes como pontos de interseção entre f e g.
Para cada raiz x_i a ordenada do ponto de interseção é y_i=g(x_i)=x_i^{2}. Vou dar os x_i obtidos pela bisseção e os y_i correspondentes (valores aproximados com precisão compatível com \varepsilon):
  • Para x_1\approx -1{,}2470703125: y_1=x_1^{2}\approx 1{,}5551843643.
  • Para x_2\approx 0{,}44482421875: y_2=x_2^{2}\approx 0{,}1975971846.
  • Para x_3\approx 1{,}8017578125: y_3=x_3^{2}\approx 3{,}2463312149.
Esses x_i satisfazem |\text{erro do ponto médio}|\le 10^{-3}é, porque em cada caso a meia-largura do intervalo final foi \le 0{,}001.

Resposta

(-1{,}2470703125,\;1{,}5551843643188477)
(0{,}44482421875,\;0{,}19759718)
(1{,}8017578125,\;3{,}2463312149)

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