Determine a equasão da parábola que passa nos prontos.
e que tem um ponto crítico em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da parábola que passa pelos pontos
e
e que tem um ponto crítico (onde a derivada é zero) em
.
Informações dadas:
- A parábola passa por
. - A parábola passa por
. - A parábola tem um ponto crítico em
(ou seja, a derivada é zero em ).
O que precisa ser encontrado:
- A equação da parábola (os coeficientes que definem a parábola).
Passo 2
Escolhemos representar a parábola na forma padrão polinomial
onde
,
e
são números reais e
(se
não seria parábola). Essa forma é conveniente porque podemos usar a condição do ponto crítico através da derivada de maneira direta.
Explicando a ideia da derivada (rápido e intuitivo): a derivada
dá a inclinação (o “declive”) da parábola em cada
. Um ponto crítico é um
onde a inclinação é zero — isto é, a parábola tem um topo ou fundo ali.
Passo 3
Calcule a derivada da função
. Derivar termo a termo:
- a derivada de
é , - a derivada de
é , - a derivada de
é .
Portanto,
A condição "ponto crítico em
" é
. Substituindo:
Logo
Passo 4
Use agora a condição de que a parábola passa por
. Substituímos
e
em
:
ou seja
Substituindo
nessa equação:
Daí obtemos
Passo 5
Use a condição do ponto
. Substituindo
e
na forma polinomial:
ou seja
Agora substituímos
e
:
Calcule passo a passo:
-
, - então
, - isso simplifica para
.
Logo
Passo 6
Com
encontramos os outros coeficientes:
Verificação rápida (sempre bom checar):
- Para
: — ok. - Para
: — ok. - Derivada
, e — ótimo, ponto crítico em .
Passo 7
Escrevendo a equação final da parábola com os coeficientes encontrados: