Determine a equasão da parábola que passa nos prontos.
(1,3),(2,5)
e que tem um ponto crítico em x=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da parábola que passa pelos pontos (1,3) e (2,5) e que tem um ponto crítico (onde a derivada é zero) em x=1.
Informações dadas:
  • A parábola passa por (1,3).
  • A parábola passa por (2,5).
  • A parábola tem um ponto crítico em x=1 (ou seja, a derivada é zero em x=1).
O que precisa ser encontrado:
  • A equação da parábola (os coeficientes que definem a parábola).

Passo 2

Escolhemos representar a parábola na forma padrão polinomial
y = ax^2 + bx + c,
onde a, b e c são números reais e a \neq 0 (se a=0 não seria parábola). Essa forma é conveniente porque podemos usar a condição do ponto crítico através da derivada de maneira direta.
Explicando a ideia da derivada (rápido e intuitivo): a derivada y' dá a inclinação (o “declive”) da parábola em cada x. Um ponto crítico é um x onde a inclinação é zero — isto é, a parábola tem um topo ou fundo ali.

Passo 3

Calcule a derivada da função y = ax^2 + bx + c. Derivar termo a termo:
  • a derivada de ax^2 é 2ax,
  • a derivada de bx é b,
  • a derivada de c é 0.
Portanto,
y' = 2ax + b.
A condição "ponto crítico em x=1" é y'(1)=0. Substituindo:
y'(1) = 2a\cdot 1 + b = 0.
Logo
b = -2a.

Passo 4

Use agora a condição de que a parábola passa por (1,3). Substituímos x=1 e y=3 em y = ax^2 + bx + c:
a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c = 3,
ou seja
a + b + c = 3.
Substituindo b = -2a nessa equação:
a + (-2a) + c = 3 \quad\Rightarrow\quad -a + c = 3.
Daí obtemos
c = 3 + a.

Passo 5

Use a condição do ponto (2,5). Substituindo x=2 e y=5 na forma polinomial:
a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c = 5,
ou seja
4a + 2b + c = 5.
Agora substituímos b = -2a e c = 3 + a:
4a + 2(-2a) + (3 + a) = 5.
Calcule passo a passo:
  • 2(-2a) = -4a,
  • então 4a - 4a + 3 + a = 5,
  • isso simplifica para a + 3 = 5.
Logo
a = 2.

Passo 6

Com a = 2 encontramos os outros coeficientes:
b = -2a = -2\cdot 2 = -4,
c = 3 + a = 3 + 2 = 5.
Verificação rápida (sempre bom checar):
  • Para (1,3): y(1)=2\cdot1^2 -4\cdot1 +5 = 2 -4 +5 = 3 — ok.
  • Para (2,5): y(2)=2\cdot4 -4\cdot2 +5 = 8 -8 +5 = 5 — ok.
  • Derivada y' = 4x -4, e y'(1)=4-4=0 — ótimo, ponto crítico em x=1.

Passo 7

Escrevendo a equação final da parábola com os coeficientes encontrados:
y = 2x^2 - 4x + 5.

Resposta

y = 2x^2 - 4x + 5

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