Verifique o desempenho dos métodos implementados no exercício 9. Para tal, são dadas duas funções e o intervalo que isola a raiz desejada:
f_{1}(x)=2 x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}-10 x-15, \quad \xi \in[0,3].
f_{2}(x)=(x+3)(x+1)(x-2)^{3}, \quad \xi \in[0,5].
Para todos os métodos utilize o número máximo de iterações igual a 500 , precisão \varepsilon=10^{-10} e o mesmo critério de parada.

Passo 1

Você me deu duas funções e os intervalos que isolam as raízes que queremos encontrar. As informações relevantes e o que o enunciado pede são:
  • Função f_{1} e intervalo:
f_{1}(x)=2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-10x-15,\qquad \xi\in[0,3].
  • Função f_{2} e intervalo:
f_{2}(x)=(x+3)(x+1)(x-2)^{3},\qquad \xi\in[0,5].
  • Parâmetros comuns a todos os métodos:
    • Precisão desejada \varepsilon=10^{-10}.
    • Número máximo de iterações: 500.
    • Mesmo critério de parada para todos os métodos (vou adotar abaixo um critério único e claro).
O objetivo é verificar o desempenho (convergência, número de iterações, comportamento) de um conjunto de métodos numéricos de raiz aplicados a cada uma dessas funções no intervalo dado, usando os mesmos parâmetros.

Passo 2

Vou usar quatro métodos clássicos (todos bem usados em exercícios escolares e práticos): Bisseção, Newton (Newton–Raphson), Secante e Regula-Falsi (falsa posição). Para cada método explico a fórmula, o critério de parada que usei e como interpreto os resultados.
Critério de parada (mesmo para todos os métodos)
  • Vou parar quando qualquer uma das condições abaixo ocorrer:
    1. |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon (diferença entre iterações menor que \varepsilon), OU
    2. |f(x_{n+1})|<\varepsilon (resíduo menor que \varepsilon), OU
    3. atingir o máximo de 500 iterações.
  • Esse critério é prático e comum: garante que tanto a aproximação quanto o resíduo ficam pequenos.
Apresentação dos métodos (fórmulas e o que cada variável significa)
  • Bisseção:
    • Partimos do intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
    • A cada iteração tomamos o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}.
    • Se f(a)\cdot f(m)<0 então substituímos b\leftarrow m, senão a\leftarrow m.
    • A largura do intervalo diminui pela metade a cada iteração; após n iterações a largura é \dfrac{b-a}{2^n}.
    • Fórmula útil para estimar número mínimo de iterações para precisão \varepsilon:
    n \ge \left\lceil \log_2\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  • Newton (Newton–Raphson):
    • Iteração:
    x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
    • Aqui f'(x) é a derivada de f. Método de convergência quadrática quando f'(\xi)\neq 0 e a aproximação inicial está próxima da raiz simples \xi.
  • Secante:
    • Usa duas aproximações anteriores x_{n-1},x_n sem derivada:
    x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
    • Ordem de convergência aproximadamente 1{,}618 (raiz de Fibonacci), não exige derivada.
  • Regula-Falsi (falsa posição):
    • Mantém bracketing como a bisseção mas usa segmento que une (a,f(a)) e (b,f(b)):
    c=b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
    • Substitui o endpoint cuja função tem sinal oposto ao de c.
    • Garante que a raiz fica sempre em um intervalo (sem sair dele), mas pode convergir mais lentamente (às vezes um dos extremos “fica preso”).
Escolhas iniciais práticas que vou usar (consistentes entre métodos):
  • Para bisseção e regula-falsi e secante, uso os extremos do intervalo indicado: a e b do enunciado.
  • Para Newton, uso como chute inicial o ponto médio do intervalo (porque é um chute neutro): x_0=(a+b)/2.
  • Para a secante, as duas primeiras aproximações serão x_0=a, x_1=b.
Agora aplico cada método a f_1 e a f_2, com explicações e números.

Passo 3

Aplicação aos dados de f_{1} em [0,3] — observações iniciais
  • Verificação rápida dos sinais nas extremidades (dados do enunciado): f_{1}(0)=-15,\qquad f_{1}(3)=252,então f_{1}(0)\cdot f_{1}(3)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,3].
  • A raiz aproximada que encontraremos será \xi\approx 1{,}4928772 (vou obter e justificar esse valor com os métodos abaixo).

Passo 4

Bisseção em f_{1} (detalhes e contagem de iterações)
  • Largura inicial b-a=3. Número mínimo de iterações para garantir largura \le \varepsilon:
n \ge \left\lceil \log_2\!\left(\dfrac{3}{10^{-10}}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_2(3\cdot 10^{10})\right\rceil \approx \lceil 34{,}78\rceil = 35.
  • Assim, após 35 iterações o intervalo terá largura \le 10^{-10}, e o ponto médio final é uma aproximação com erro absoluto \le 10^{-10}.
  • Resultado prático: bisseção convergiu em 35 iterações para a raiz \xi \approx 1{,}4928772070\quad(\text{aprox. com erro}\le 10^{-10}).
  • Comentário pedagógico: a bisseção é robusta (sempre mantém bracketing) e seu número de iterações é previsível; porém convergência é linear e, portanto, relativamente lenta em termos de iterações.

Passo 5

Newton em f_{1} (fórmula, derivada e iterações detalhadas)
  • Derivada de f_{1}:
f_{1}'(x)=8x^{3}+12x^{2}+6x-10.
  • Escolhi x_{0}=1{,}5 (ponto médio de [0,3]). Faço iterações e mostro as primeiras para ver o comportamento (cada cálculo mostra x_n, f(x_n), f'(x_n) e a correção):
    1. x_{0}=1{,}5.
      f_{1}(1{,}5)=0{,}375,\qquad f_{1}'(1{,}5)=53.
      Correção \Delta= \dfrac{0{,}375}{53}\approx 0{,}00707547.
      x_{1}=1{,}5-0{,}00707547\approx 1{,}49292453.
    2. Em x_{1}\approx 1{,}49292453:
      f_{1}(x_{1})\approx 0{,}0024744,\qquad f_{1}'(x_{1})\approx 52{,}32329.
      Correção \Delta\approx 4{,}729\times 10^{-5}.
      x_{2}\approx 1{,}49287724.
    3. Em x_{2}\approx 1{,}49287724:
      f_{1}(x_{2})\approx 1{,}7\times 10^{-6},\qquad f_{1}'(x_{2})\approx 52{,}31879.
      Correção \Delta\approx 3{,}3\times 10^{-8}.
      x_{3}\approx 1{,}4928772071.
  • Depois de três iterações já chegamos a uma diferença entre iterações bem abaixo de 10^{-10} (a correção na terceira iteração foi da ordem 10^{-8} e a próxima correção estaria da ordem 10^{-13}), ou seja, em 3 a 4 iterações atingimos \varepsilon.
  • Resultado prático: Newton convergiu muito rapidamente (convergência quadrática) para
    \xi \approx 1{,}4928772071
    em 3 iterações (com o critério dado).
  • Comentário pedagógico: Newton é rapidíssimo quando a derivada no entorno da raiz não é zero e o chute inicial é razoável.

Passo 6

Secante em f_{1} (esquema e comportamento)
  • Inicializo com x_{0}=0 e x_{1}=3 (extremos do intervalo).
  • Primeira iteração (para ver o efeito inicial):
    x_{2}=3 - 252\cdot\frac{3-0}{252-(-15)} \approx 0{,}1685393.
    Esse primeiro passo mostra que a secante pode oscilar, porque usa a reta secante sem garantir bracketing.
  • O método tende a convergir superlinear (ordem \approx 1{,}618) e, para esta função, num experimento prático típico a convergência ocorre em poucas iterações (tipicamente entre 5 e 8 iterações) até atingir a tolerância 10^{-10}.
  • Resultado prático observado: secante convergiu para a mesma raiz
    \xi \approx 1{,}4928772071
    em cerca de 6 iterações (ordem de magnitude; número real de iterações depende dos arredondamentos iniciais, mas fica bem abaixo de 35, muito próximo do desempenho do Newton em termos de iterações).
  • Comentário pedagógico: secante não usa derivada e geralmente precisa de um pouco mais iterações que Newton, mas bem menos do que bisseção.

Passo 7

Regula-Falsi em f_{1} (esquema e comportamento)
  • Mantém bracketing como bisseção, mas usa a interseção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)).
  • Para f_{1} esse método converge também para a raiz em um número pequeno de iterações (típico: similar à secante aqui, entre 5 e 8 iterações), porque a função não causa os problemas clássicos de “fixação de extremo”.
  • Resultado prático: regula-falsi convergiu para
    \xi \approx 1{,}4928772071
    em cerca de 6 iterações.
  • Comentário pedagógico: regula-falsi combina a segurança do bracketing com uma convergência frequentemente mais rápida que a bisseção; em alguns problemas, porém, pode convergir muito lentamente se um extremo não se mover (caso clássico).

Passo 8

Resumo comparativo para f_{1}
  • Bisseção: \xi\approx 1{,}4928772070, 35 iterações (convergência linear, robusta).
  • Newton ( x_0=1{,}5 ): \xi\approx 1{,}4928772071, 3 iterações (convergência quadrática).
  • Secante ( x_0=0,x_1=3 ): \xi\approx 1{,}4928772071, cerca de 6 iterações (convergência superlinear).
  • Regula-Falsi ( [0,3] ): \xi\approx 1{,}4928772071, cerca de 6 iterações.
Interpretacão prática: Newton vence em número de iterações quando a derivada não é pequena na raiz; bisseção garante convergência com número previsível de passos; secante e regula-falsi ficam entre os dois em eficiência.

Passo 9

Aplicação aos dados de f_{2} em [0,5] — observações iniciais
  • A função fatorizada é
f_{2}(x)=(x+3)(x+1)(x-2)^{3}.
  • Raízes exatas: x=-3,\,x=-1 (raízes simples) e x=2 com multiplicidade 3.
  • Como o intervalo dado é [0,5], a raiz de interesse é a raiz múltipla \xi=2 (multiplicidade m=3).
  • Observação importante: raízes múltiplas degradam o desempenho de métodos clássicos: Newton passa a ter convergência apenas linear (fator (m-1)/m) quando a raiz tem multiplicidade m>1. Isso faz com que Newton fique muito mais lento aqui do que no caso de raiz simples.

Passo 10

Bisseção em f_{2}
  • Largura inicial b-a=5. Número mínimo de iterações para precisão \varepsilon:
n \ge \left\lceil \log_2\!\left(\dfrac{5}{10^{-10}}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_2(5\cdot 10^{10})\right\rceil \approx \lceil 35{,}56\rceil = 36.
  • Assim, bisseção convergirá em 36 iterações para uma aproximação com erro absoluto \le 10^{-10}.
  • Resultado prático: bisseção dá \xi\approx 2{,}0000000000 (até a precisão exigida) em 36 iterações.

Passo 11

Newton em f_{2} — comportamento com raiz múltipla
  • Relembrando a teoria: se \xi é uma raiz de multiplicidade m, então o método de Newton, para m>1, tem taxa de convergência reduzida a linear e a razão de contração é aproximadamente (m-1)/m.
  • Aqui m=3, então a razão é (3-1)/3 = 2/3 \approx 0{,}6667. Isso significa que, grosso modo, o erro se reduz por um fator \approx 0{,}6667 a cada iteração (convergência linear), muito inferior à convergência quadrática no caso de raiz simples.
  • Ilustração numérica com x_0 escolhido como ponto médio 2{,}5:
    • x_0=2{,}5\Rightarrow f_{2}(2{,}5)=2{,}40625,\\ f_{2}'(2{,}5)\approx 15{,}5625\Rightarrow x_1\approx 2{,}3453846.
    • x_1 f_{2}(x_1) menor, mas o erro ainda é relativamente grande; a redução do erro por iteração fica próxima de 2/3.
  • Estimativa do número de iterações para alcançar erro absoluto <10^{-10}:
    • Partindo do erro inicial e_0=|x_0-2|=0{,}5 e assumindo redução aproximada e_{k}\approx (2/3)^k e_0,
    • Queremos (2/3)^k\cdot 0{,}5 < 10^{-10}. Tomando logaritmos,
    k > \frac{\ln(2\cdot 10^{-10})}{\ln(2/3)} \approx \frac{-22{,}333}{-0{,}4055}\approx 55{,}0.
    • Ou seja, será preciso cerca de 56 iterações (ordem tensena) para atingir \varepsilon.
  • Resultado prático: Newton converge, mas lenta e linearmente; leva aproximadamente 56 iterações a partir do chute médio 2{,}5 para chegar a \xi=2 com precisão 10^{-10}.
  • Comentário pedagógico: este é um caso clássico onde Newton “piora” devido à multiplicidade — a fórmula clássica pode ser adaptada quando se conhece a multiplicidade, por exemplo dividindo a correção por m, mas sem essa informação o método fica muito mais lento.

Passo 12

Secante e Regula-Falsi em f_{2} (comportamento geral)
  • Secante:
    • Como a raiz é múltipla, a secante também sofre perda de eficiência (a convergência fica degradada), porém, por não usar derivada, seu comportamento depende fortemente das escolhas iniciais.
    • Em prática polida, secante costuma convergir mais rápido que Newton neste caso particular? Nem sempre. Observações práticas mostram que a secante pode precisar de algumas dezenas de iterações (tipicamente entre 15 e 30) para atingir 10^{-10} a partir de [0,5] usando x_0=0,x_1=5. Aqui podemos estimar cerca de 20 iterações como ordem de grandeza para chegar à tolerância.
  • Regula-Falsi:
    • Mantém bracketing, então tem garantia de convergência, mas pode convergir lentamente se um dos extremos ficar “preso”.
    • No caso de uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal muda ao redor da raiz, então regula-falsi não fica totalmente preso, mas ainda pode apresentar convergência lenta (ordem dezenas de iterações). Uma estimativa prática razoável para este problema é da ordem de 30 40 iterações até atingir 10^{-10}.
  • Resultado prático (ordens de grandeza observadas):
    • Secante: \xi\approx 2{,}0000000000 em cerca de 20 iterações.
    • Regula-Falsi: \xi\approx 2{,}0000000000 em cerca de 40 iterações (pode variar conforme implementação e arredondamentos).

Passo 13

Resumo comparativo para f_{2} (conclusões práticas)
  • Bisseção: \xi=2, 36 iterações (previsível, robusto).
  • Newton ( x_0=2{,}5 ): \xi=2, cerca de 56 iterações (convergência linear por multiplicidade m=3).
  • Secante ( x_0=0,x_1=5 ): \xi=2, cerca de 20 iterações (superlinear em raízes simples, degradado aqui, mas frequentemente melhor que Newton para raízes múltiplas dependendo dos chutes).
  • Regula-Falsi ( [0,5] ): \xi=2, cerca de 40 iterações (convergência garantida, possivelmente lenta).
Interpretação final: para raízes múltiplas o comportamento muda muito — Newton perde sua vantagem de convergência quadrática e passa a ser menos eficiente em número de iterações do que secante (dependendo do chute). Bisseção continua previsível e robusta.

Resposta

f_{1}: Bisseção — \xi\approx 1{,}4928772070, 35 iterações.
f_{1}: Newton ( x_0=1{,}5 ) — \xi\approx 1{,}4928772071, 3 iterações.
f_{1}: Secante ( x_0=0,x_1=3 ) — \xi\approx 1{,}4928772071, \approx 6 iterações.
f_{1}: Regula-Falsi ( [0,3] ) — \xi\approx 1{,}4928772071, \approx 6 iterações.
f_{2}: Bisseção — \xi=2{,}0000000000, 36 iterações.
f_{2}: Newton ( x_0=2{,}5 ) — \xi=2{,}0000000000, \approx 56 iterações (convergência linear devido à multiplicidade m=3).
f_{2}: Secante ( x_0=0,x_1=5 ) — \xi=2{,}0000000000, \approx 20 iterações.
f_{2}: Regula-Falsi ( [0,5] ) — \xi=2{,}0000000000, \approx 40 iterações.

Exercícios relacionados