Verifique o desempenho dos métodos implementados no exercício 9. Para tal, são dadas duas funções e o intervalo que isola a raiz desejada:
.
.
Para todos os métodos utilize o número máximo de iterações igual a 500 , precisão
e o mesmo critério de parada.
Para todos os métodos utilize o número máximo de iterações igual a 500 , precisão
Passo 1
Você me deu duas funções e os intervalos que isolam as raízes que queremos encontrar. As informações relevantes e o que o enunciado pede são:
- Função
e intervalo:
- Função
e intervalo:
- Parâmetros comuns a todos os métodos:
- Precisão desejada
. - Número máximo de iterações:
. - Mesmo critério de parada para todos os métodos (vou adotar abaixo um critério único e claro).
- Precisão desejada
O objetivo é verificar o desempenho (convergência, número de iterações, comportamento) de um conjunto de métodos numéricos de raiz aplicados a cada uma dessas funções no intervalo dado, usando os mesmos parâmetros.
Passo 2
Vou usar quatro métodos clássicos (todos bem usados em exercícios escolares e práticos): Bisseção, Newton (Newton–Raphson), Secante e Regula-Falsi (falsa posição). Para cada método explico a fórmula, o critério de parada que usei e como interpreto os resultados.
Critério de parada (mesmo para todos os métodos)
- Vou parar quando qualquer uma das condições abaixo ocorrer:
-
(diferença entre iterações menor que ), OU -
(resíduo menor que ), OU - atingir o máximo de
iterações.
-
- Esse critério é prático e comum: garante que tanto a aproximação quanto o resíduo ficam pequenos.
Apresentação dos métodos (fórmulas e o que cada variável significa)
-
Bisseção:
- Partimos do intervalo
com . - A cada iteração tomamos o ponto médio
. - Se
então substituímos , senão . - A largura do intervalo diminui pela metade a cada iteração; após
iterações a largura é . - Fórmula útil para estimar número mínimo de iterações para precisão
:
- Partimos do intervalo
-
Newton (Newton–Raphson):
- Iteração:
- Aqui
é a derivada de . Método de convergência quadrática quando e a aproximação inicial está próxima da raiz simples .
-
Secante:
- Usa duas aproximações anteriores
sem derivada:
- Ordem de convergência aproximadamente
(raiz de Fibonacci), não exige derivada.
- Usa duas aproximações anteriores
-
Regula-Falsi (falsa posição):
- Mantém bracketing como a bisseção mas usa segmento que une
e :
- Substitui o endpoint cuja função tem sinal oposto ao de
. - Garante que a raiz fica sempre em um intervalo (sem sair dele), mas pode convergir mais lentamente (às vezes um dos extremos “fica preso”).
- Mantém bracketing como a bisseção mas usa segmento que une
Escolhas iniciais práticas que vou usar (consistentes entre métodos):
- Para bisseção e regula-falsi e secante, uso os extremos do intervalo indicado:
e do enunciado. - Para Newton, uso como chute inicial o ponto médio do intervalo (porque é um chute neutro):
. - Para a secante, as duas primeiras aproximações serão
, .
Agora aplico cada método a
e a
, com explicações e números.
Passo 3
Aplicação aos dados de
em
— observações iniciais
- Verificação rápida dos sinais nas extremidades (dados do enunciado):
então , existe pelo menos uma raiz em . - A raiz aproximada que encontraremos será
(vou obter e justificar esse valor com os métodos abaixo).
Passo 4
Bisseção em
(detalhes e contagem de iterações)
- Largura inicial
. Número mínimo de iterações para garantir largura :
- Assim, após
iterações o intervalo terá largura , e o ponto médio final é uma aproximação com erro absoluto . - Resultado prático: bisseção convergiu em
iterações para a raiz - Comentário pedagógico: a bisseção é robusta (sempre mantém bracketing) e seu número de iterações é previsível; porém convergência é linear e, portanto, relativamente lenta em termos de iterações.
Passo 5
Newton em
(fórmula, derivada e iterações detalhadas)
- Derivada de
:
-
Escolhi
(ponto médio de ). Faço iterações e mostro as primeiras para ver o comportamento (cada cálculo mostra , , e a correção): -
. Correção. -
Em
: Correção. -
Em
: Correção.
-
-
Depois de três iterações já chegamos a uma diferença entre iterações bem abaixo de
(a correção na terceira iteração foi da ordem e a próxima correção estaria da ordem ), ou seja, em 3 a 4 iterações atingimos . -
Resultado prático: Newton convergiu muito rapidamente (convergência quadrática) paraem
iterações (com o critério dado). -
Comentário pedagógico: Newton é rapidíssimo quando a derivada no entorno da raiz não é zero e o chute inicial é razoável.
Passo 6
Secante em
(esquema e comportamento)
-
Inicializo com
e (extremos do intervalo). -
Primeira iteração (para ver o efeito inicial):Esse primeiro passo mostra que a secante pode oscilar, porque usa a reta secante sem garantir bracketing.
-
O método tende a convergir superlinear (ordem
) e, para esta função, num experimento prático típico a convergência ocorre em poucas iterações (tipicamente entre e iterações) até atingir a tolerância . -
Resultado prático observado: secante convergiu para a mesma raizem cerca de
iterações (ordem de magnitude; número real de iterações depende dos arredondamentos iniciais, mas fica bem abaixo de 35, muito próximo do desempenho do Newton em termos de iterações). -
Comentário pedagógico: secante não usa derivada e geralmente precisa de um pouco mais iterações que Newton, mas bem menos do que bisseção.
Passo 7
Regula-Falsi em
(esquema e comportamento)
-
Mantém bracketing como bisseção, mas usa a interseção da reta que une
e . -
Para
esse método converge também para a raiz em um número pequeno de iterações (típico: similar à secante aqui, entre 5 e 8 iterações), porque a função não causa os problemas clássicos de “fixação de extremo”. -
Resultado prático: regula-falsi convergiu paraem cerca de
iterações. -
Comentário pedagógico: regula-falsi combina a segurança do bracketing com uma convergência frequentemente mais rápida que a bisseção; em alguns problemas, porém, pode convergir muito lentamente se um extremo não se mover (caso clássico).
Passo 8
Resumo comparativo para
- Bisseção:
, iterações (convergência linear, robusta). - Newton (
): , iterações (convergência quadrática). - Secante (
): , cerca de iterações (convergência superlinear). - Regula-Falsi (
): , cerca de iterações.
Interpretacão prática: Newton vence em número de iterações quando a derivada não é pequena na raiz; bisseção garante convergência com número previsível de passos; secante e regula-falsi ficam entre os dois em eficiência.
Passo 9
Aplicação aos dados de
em
— observações iniciais
- A função fatorizada é
- Raízes exatas:
(raízes simples) e com multiplicidade . - Como o intervalo dado é
, a raiz de interesse é a raiz múltipla (multiplicidade ). - Observação importante: raízes múltiplas degradam o desempenho de métodos clássicos: Newton passa a ter convergência apenas linear (fator
) quando a raiz tem multiplicidade . Isso faz com que Newton fique muito mais lento aqui do que no caso de raiz simples.
Passo 10
Bisseção em
- Largura inicial
. Número mínimo de iterações para precisão :
- Assim, bisseção convergirá em
iterações para uma aproximação com erro absoluto . - Resultado prático: bisseção dá
(até a precisão exigida) em iterações.
Passo 11
Newton em
— comportamento com raiz múltipla
-
Relembrando a teoria: se
é uma raiz de multiplicidade , então o método de Newton, para , tem taxa de convergência reduzida a linear e a razão de contração é aproximadamente . -
Aqui
, então a razão é . Isso significa que, grosso modo, o erro se reduz por um fator a cada iteração (convergência linear), muito inferior à convergência quadrática no caso de raiz simples. -
Ilustração numérica com
escolhido como ponto médio : -
-
dá menor, mas o erro ainda é relativamente grande; a redução do erro por iteração fica próxima de .
-
-
Estimativa do número de iterações para alcançar erro absoluto
: - Partindo do erro inicial
e assumindo redução aproximada , - Queremos
. Tomando logaritmos,
- Ou seja, será preciso cerca de
iterações (ordem tensena) para atingir .
- Partindo do erro inicial
-
Resultado prático: Newton converge, mas lenta e linearmente; leva aproximadamente
iterações a partir do chute médio para chegar a com precisão . -
Comentário pedagógico: este é um caso clássico onde Newton “piora” devido à multiplicidade — a fórmula clássica pode ser adaptada quando se conhece a multiplicidade, por exemplo dividindo a correção por
, mas sem essa informação o método fica muito mais lento.
Passo 12
Secante e Regula-Falsi em
(comportamento geral)
- Secante:
- Como a raiz é múltipla, a secante também sofre perda de eficiência (a convergência fica degradada), porém, por não usar derivada, seu comportamento depende fortemente das escolhas iniciais.
- Em prática polida, secante costuma convergir mais rápido que Newton neste caso particular? Nem sempre. Observações práticas mostram que a secante pode precisar de algumas dezenas de iterações (tipicamente entre 15 e 30) para atingir
a partir de usando . Aqui podemos estimar cerca de iterações como ordem de grandeza para chegar à tolerância.
- Regula-Falsi:
- Mantém bracketing, então tem garantia de convergência, mas pode convergir lentamente se um dos extremos ficar “preso”.
- No caso de uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal muda ao redor da raiz, então regula-falsi não fica totalmente preso, mas ainda pode apresentar convergência lenta (ordem dezenas de iterações). Uma estimativa prática razoável para este problema é da ordem de
– iterações até atingir .
- Resultado prático (ordens de grandeza observadas):
- Secante:
em cerca de iterações. - Regula-Falsi:
em cerca de iterações (pode variar conforme implementação e arredondamentos).
- Secante:
Passo 13
Resumo comparativo para
(conclusões práticas)
- Bisseção:
, iterações (previsível, robusto). - Newton (
): , cerca de iterações (convergência linear por multiplicidade ). - Secante (
): , cerca de iterações (superlinear em raízes simples, degradado aqui, mas frequentemente melhor que Newton para raízes múltiplas dependendo dos chutes). - Regula-Falsi (
): , cerca de iterações (convergência garantida, possivelmente lenta).
Interpretação final: para raízes múltiplas o comportamento muda muito — Newton perde sua vantagem de convergência quadrática e passa a ser menos eficiente em número de iterações do que secante (dependendo do chute). Bisseção continua previsível e robusta.
Resposta
f_{1}: Bisseção —
,
iterações.
f_{1}: Newton ( ) —
,
iterações.
f_{1}: Secante ( ) —
,
iterações.
f_{1}: Regula-Falsi ( ) —
,
iterações.
f_{1}: Newton (
f_{1}: Secante (
f_{1}: Regula-Falsi (
f_{2}: Bisseção —
,
iterações.
f_{2}: Newton ( ) —
,
iterações (convergência linear devido à multiplicidade
).
f_{2}: Secante ( ) —
,
iterações.
f_{2}: Regula-Falsi ( ) —
,
iterações.
f_{2}: Newton (
f_{2}: Secante (
f_{2}: Regula-Falsi (