Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
C(x)=5 e^{-x}+x
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivas, a distância para o qual o nível de oxigênio desce para o valor 4. Utilize para aproximação inicial x_{0}=2 e considere \varepsilon=10^{-3}

Passo 1

O enunciado dá a função de concentração
C(x)=5 e^{-x}+x
e pede a distância x para a qual o nível de oxigênio desce para o valor 4. Ou seja, queremos resolver a equação
C(x)=4.
Informações fornecidas:
  • aproximação inicial x_{0}=2;
  • tolerância \varepsilon=10^{-3}.
    O que precisamos encontrar: o valor de x tal que C(x)=4, usando um método que emprega derivadas (vamos usar o método de Newton).

Passo 2

Transformamos o problema em achar raiz da função
f(x)=C(x)-4=5 e^{-x}+x-4.
Explicando o que é derivada e por que a usamos: a derivada f'(x) indica a taxa de variação instantânea de f em x. O método de Newton usa a derivada para aproximar a raiz de maneira rápida, construindo a reta tangente em x_n e encontrando onde essa reta corta o eixo x. A fórmula do método de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui, calculemos a derivada de f. Como f(x)=5 e^{-x}+x-4, a derivada é
f'(x)=-5 e^{-x}+1.
Explicação prática: a derivada de e^{-x} é -e^{-x}, por isso a derivada de 5 e^{-x} é -5 e^{-x}; a derivada de x é 1; a constante -4 some.
Critério de parada que usaremos: iteramos até que a diferença entre iterações consecutivas satisfaça
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon,
com \varepsilon=10^{-3}. Vou executar as iterações mostrando as contas (aproximações numéricas) passo a passo.

Passo 3

Iteração 0 (valor inicial):
x_0=2.
Calcule f(x_0) e f'(x_0).
Primeiro calcule e^{-2}\approx 0,1353352832366. Então
5 e^{-2}\approx 0,6766764161831.
Logo
f(x_0)=5 e^{-2}+2-4\approx 0,6766764161831+2-4=-1,3233235838169.
E
f'(x_0)=-5 e^{-2}+1\approx -0,6766764161831+1=0,3233235838169.
Aplicando Newton:
x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=2-\frac{-1,3233235838169}{0,3233235838169}\approx 2+4,0929309\approx 6,0929309.
Diferença: |x_1-x_0|\approx 4,0929309>10^{-3}. Continuamos.

Passo 4

Iteração 1:
x_1\approx 6,0929309.
Calcule e^{-x_1}. Usando e^{-6,0929309}\approx 0,0022569 (cálculo por fatorizar e^{-6} e ajustar), então
5 e^{-x_1}\approx 0,0112846.
Logo
f(x_1)=5 e^{-x_1}+x_1-4\approx 0,0112846+6,0929309-4=2,1042155.
E
f'(x_1)=1-5 e^{-x_1}\approx 1-0,0112846=0,9887154.
Aplicando Newton:
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx 6,0929309-\frac{2,1042155}{0,9887154}\approx 6,0929309-2,1277010\approx 3,9652299.
Diferença: |x_2-x_1|\approx 2,1277010>10^{-3}. Continuamos.

Passo 5

Iteração 2:
x_2\approx 3,9652299.
Calcule e^{-x_2}. Podemos usar e^{-3,9652299}\approx 0,0189530 (porque e^{-4}\approx 0,0183156 e ajustamos pelo expoente). Então
5 e^{-x_2}\approx 0,0947650.
Logo
f(x_2)=5 e^{-x_2}+x_2-4\approx 0,0947650+3,9652299-4=0,0599949.
E
f'(x_2)=1-5 e^{-x_2}\approx 1-0,0947650=0,9052350.
Aplicando Newton:
x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx 3,9652299-\frac{0,0599949}{0,9052350}\approx 3,9652299-0,0662959\approx 3,8989340.
Diferença: |x_3-x_2|\approx 0,0662959>10^{-3}. Ainda iteramos.

Passo 6

Iteração 3:
x_3\approx 3,8989340.
Calcule e^{-x_3}. Usando ajuste a partir de e^{-4}, obtemos e^{-3,8989340}\approx 0,0202579. Então
5 e^{-x_3}\approx 0,1012895.
Logo
f(x_3)=5 e^{-x_3}+x_3-4\approx 0,1012895+3,8989340-4=0,0002235\text{ (aprox.)}.
E
f'(x_3)=1-5 e^{-x_3}\approx 1-0,1012895=0,8987105.
Aplicando Newton:
x_4=x_3-\frac{f(x_3)}{f'(x_3)}\approx 3,8989340-\frac{0,0002235}{0,8987105}\approx 3,8989340-0,0002490\approx 3,8986850.
Diferença: |x_4-x_3|\approx 0,0002490<10^{-3}. Portanto o critério de parada foi satisfeito.

Resposta

x\approx 3,898685

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