Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivas, a distância para o qual o nível de oxigênio desce para o valor 4. Utilize para aproximação inicial
e considere
Passo 1
O enunciado dá a função de concentração
e pede a distância
para a qual o nível de oxigênio desce para o valor
. Ou seja, queremos resolver a equação
Informações fornecidas:
- aproximação inicial
; - tolerância
.
O que precisamos encontrar: o valor detal que , usando um método que emprega derivadas (vamos usar o método de Newton).
Passo 2
Transformamos o problema em achar raiz da função
Explicando o que é derivada e por que a usamos: a derivada
indica a taxa de variação instantânea de
em
. O método de Newton usa a derivada para aproximar a raiz de maneira rápida, construindo a reta tangente em
e encontrando onde essa reta corta o eixo
. A fórmula do método de Newton é
Aqui, calculemos a derivada de
. Como
, a derivada é
Explicação prática: a derivada de
é
, por isso a derivada de
é
; a derivada de
é
; a constante
some.
Critério de parada que usaremos: iteramos até que a diferença entre iterações consecutivas satisfaça
com
. Vou executar as iterações mostrando as contas (aproximações numéricas) passo a passo.
Passo 3
Iteração 0 (valor inicial):
Calcule
e
.
Primeiro calcule . Então
Primeiro calcule
Logo
E
Aplicando Newton:
Diferença:
. Continuamos.
Passo 4
Iteração 1:
Calcule
. Usando
(cálculo por fatorizar
e ajustar), então
Logo
E
Aplicando Newton:
Diferença:
. Continuamos.
Passo 5
Iteração 2:
Calcule
. Podemos usar
(porque
e ajustamos pelo expoente). Então
Logo
E
Aplicando Newton:
Diferença:
. Ainda iteramos.
Passo 6
Iteração 3:
Calcule
. Usando ajuste a partir de
, obtemos
. Então
Logo
E
Aplicando Newton:
Diferença:
. Portanto o critério de parada foi satisfeito.