Determine os erros absoluto e relativo para os itens a seguir usando arredondamento (considere 3 dígitos significativos). Repita o exercício usando truncamento.
x=41,2765;

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: x=41,2765.
  • Pede: calcular o erro absoluto e o erro relativo de uma aproximação de x com 3 dígitos significativos, primeiro usando arredondamento e depois usando truncamento.
  • Informação útil que vou usar: erro absoluto é a diferença entre o valor exato e a aproximação; erro relativo é o erro absoluto dividido pelo valor exato (módulos em ambos os casos).

Passo 2

Entendendo “3 dígitos significativos”, arredondamento e truncamento (explicação didática e com jeitão de amigo):
  • “3 dígitos significativos” significa manter os três primeiros algarismos não nulos a partir da esquerda, independentemente da posição da vírgula. Para x=41,2765 os três primeiros algarismos significativos são 4, 1 e 2.
  • Arredondamento: olha-se ao quarto dígito significativo e, se ele for \ge 5, aumenta-se o terceiro dígito significativo em 1; caso contrário, mantém-se o terceiro dígito. Sempre considera-se o efeito de “vai um” quando necessário.
  • Truncamento: simplesmente corta os dígitos a partir do quarto significativo, sem arredondar.
Vou transformar x em notação que deixe claro os dígitos significativos:
x = 41,2765 = 4,12765\times 10^{1}.

Passo 3

Aproximação por arredondamento a 3 dígitos significativos:
  • Em 4,12765\times 10^{1} os três primeiros dígitos significativos dão 4,12 como os três primeiros algarismos de 4,12765 (isto é, 4, 1, 2); o quarto dígito significativo é 7.
  • Como o quarto dígito ( 7) é maior ou igual a 5, arredonda-se o terceiro dígito para cima: 4,12 4,13.
  • Voltando da forma científica:
\text{aproximação (arred.)} = 4,13\times 10^{1} = 41,3.çã

Passo 4

Aproximação por truncamento a 3 dígitos significativos:
  • Em 4,12765\times 10^{1}, truncando após três dígitos significativos simplesmente corta-se após 4,12, sem arredondar.
  • Voltando da forma científica:
\text{aproximação (trunc.)} = 4,12\times 10^{1} = 41,2.çã

Passo 5

Cálculo dos erros absolutos (definição e contas passo a passo):
  • Erro absoluto (arredondamento):
E_{\text{abs, arred}} = \big|x - \text{aproximação (arred.)}\big| = \big|41,2765 - 41,3\big| = 0,0235.çã
  • Erro absoluto (truncamento):
E_{\text{abs, trunc}} = \big|x - \text{aproximação (trunc.)}\big| = \big|41,2765 - 41,2\big| = 0,0765.çã

Passo 6

Cálculo dos erros relativos (definição, transformação prática e contas):
  • Erro relativo é dado por \dfrac{\text{erro absoluto}}{|x|}. Para facilitar a divisão, pode-se multiplicar numerador e denominador por 10^{4} (ou escrever fração equivalente).
  • Erro relativo (arredondamento):
\delta_{\text{arred}} = \frac{E_{\text{abs, arred}}}{|x|} = \frac{0,0235}{41,2765} = \frac{235}{412765}\approx 0,00056933.
(aproximando a divisão para 8 dígitos significativos; em porcentagem isso é aproximadamente 0,056933\%.)
  • Erro relativo (truncamento):
\delta_{\text{trunc}} = \frac{E_{\text{abs, trunc}}}{|x|} = \frac{0,0765}{41,2765} = \frac{765}{412765}\approx 0,0018534.
(aproximando; em porcentagem isso é aproximadamente 0,18534\%.)

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo:
  • Comparando os resultados, o arredondamento deu uma aproximação mais precisa (erro absoluto e relativo menores) do que o truncamento, que é esperado: truncar sempre deixa um erro maior ou igual ao de um arredondamento bem feito.
  • Boa notícia: valores dos erros são bem pequenos — você está no caminho certo. Respira, repassa esse tipo de exercício com outros números e pega prática que em prova isso sai tranquilo.

Resposta

Arredondamento (3 dígitos): aproximação 41,3; erro absoluto 0,0235; erro relativo \approx 0,00056933.
Truncamento (3 dígitos): aproximação 41,2; erro absoluto 0,0765; erro relativo \approx 0,0018534.

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