Seja o sistema
Quantos números podem ser representados neste sistema?
Quantos números podem ser representados neste sistema?
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pergunta quantos números podem ser representados nele.
Informações explícitas do enunciado:
Informações explícitas do enunciado:
- base:
, - precisão (número de dígitos significativos):
, - menor expoente:
, - maior expoente:
.
A pergunta é: quantos números (valores distintos) esse sistema representa no total?
Passo 2
Entender exatamente que tipo de representação estamos contando. Em um sistema de ponto flutuante normalizado
cada número não nulo tem a forma
onde:
-
é o primeiro dígito da mantissa e, por normalização, satisfaz (ou seja, não pode ser zero), -
são dígitos entre e , - o expoente
é inteiro e , - além disso há o número especial zero, que normalmente também é representável.
Vou contar: (1) quantas mantissas possíveis, (2) quantos expoentes possíveis, (3) considerar os sinais
, e (4) somar o zero.
Passo 3
Contagem das mantissas possíveis. O primeiro dígito
tem
escolhas e cada um dos
dígitos seguintes tem
escolhas. Portanto o número de mantissas normalizadas é
Substituindo
e
:
Passo 4
Contagem dos expoentes possíveis. Como
varia de
até
inclusive, o número de expoentes é
Substituindo
e
:
Logo o número de números não nulos positivos representáveis é
Passo 5
Considerando o sinal, cada número não nulo pode ser positivo ou negativo, então há o dobro:
Além disso, o zero também é representável (uma única representação para zero). Somando: