Seja o sistema \mathbb{F}(10,4,-2,2)
Quantos números podem ser representados neste sistema?

Passo 1

O enunciado dá o sistema \mathbb{F}(10,4,-2,2) e pergunta quantos números podem ser representados nele.
Informações explícitas do enunciado:
  • base: \beta=10,
  • precisão (número de dígitos significativos): t=4,
  • menor expoente: L=-2,
  • maior expoente: U=2.
A pergunta é: quantos números (valores distintos) esse sistema representa no total?

Passo 2

Entender exatamente que tipo de representação estamos contando. Em um sistema de ponto flutuante normalizado \mathbb{F}(\beta,t,L,U) cada número não nulo tem a forma
\pm (d_0.d_1d_2\ldots d_{t-1})_{\beta}\times \beta^{e},
onde:
  • d_0 é o primeiro dígito da mantissa e, por normalização, satisfaz 1\le d_0\le \beta-1 (ou seja, não pode ser zero),
  • d_1,\dots,d_{t-1} são dígitos entre 0 e \beta-1,
  • o expoente e é inteiro e L\le e\le U,
  • além disso há o número especial zero, que normalmente também é representável.
Vou contar: (1) quantas mantissas possíveis, (2) quantos expoentes possíveis, (3) considerar os sinais \pm, e (4) somar o zero.

Passo 3

Contagem das mantissas possíveis. O primeiro dígito d_0 tem \beta-1 escolhas e cada um dos t-1 dígitos seguintes tem \beta escolhas. Portanto o número de mantissas normalizadas é
(\beta-1)\times \beta^{\,t-1}.
Substituindo \beta=10 e t=4:
(\beta-1)\times \beta^{\,t-1} = 9\times 10^{3} = 9\times 1000 = 9000.

Passo 4

Contagem dos expoentes possíveis. Como e varia de L até U inclusive, o número de expoentes é
U-L+1.
Substituindo L=-2 e U=2:
U-L+1 = 2-(-2)+1 = 5.
Logo o número de números não nulos positivos representáveis é
\text{mantissas}\times\text{expoentes} = 9000\times 5 = 45000.

Passo 5

Considerando o sinal, cada número não nulo pode ser positivo ou negativo, então há o dobro:
2\times 45000 = 90000.
Além disso, o zero também é representável (uma única representação para zero). Somando:
90000 + 1 = 90001.

Resposta

\,90001

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