Determine os erros absoluto e relativo para os itens a seguir usando arredondamento (considere 3 dígitos significativos). Repita o exercício usando truncamento.
x=0,03578;

Passo 1

O enunciado pede para calcular os erros absoluto e relativo de uma aproximação de x usando dois modos de redução de dígitos: primeiro por arredondamento e depois por truncamento (chopping), considerando 3 dígitos significativos. A informação dada é:
x = 0,03578.
As tarefas específicas são:
  • Encontrar a aproximação de x com 3 dígitos significativos por arredondamento e calcular o erro absoluto e o erro relativo.
  • Repetir com truncamento (manter os 3 dígitos significativos e simplesmente “cortar” o restante) e calcular os mesmos erros.

Passo 2

Definições que vamos usar (sempre úteis na prova):
  • Erro absoluto: é a diferença em módulo entre o valor exato x e a aproximação \tilde{x}. Fórmula:
E_{\text{abs}} = |x - \tilde{x}|.
Aqui x é o valor verdadeiro e \tilde{x} é a aproximação que obtivemos.
  • Erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor absoluto do valor exato, dá uma noção percentual/relativa do erro:
E_{\text{rel}} = \frac{E_{\text{abs}}}{|x|}.
Essas fórmulas são simples, mas muito usadas em provas — memorize!

Passo 3

Entendendo “3 dígitos significativos” e como aplicar:
  • Dígitos significativos começam no primeiro dígito diferente de zero. Em x=0,03578 o primeiro dígito significativo é o 3 (os zeros à esquerda não contam).
  • É prático reescrever em notação científica para ver os dígitos significativos claramente:
x = 3,578\times 10^{-2}.
Agora, manter 3 dígitos significativos significa manter os três primeiros algarismos não nulos: 3, 5 e 7. O quarto algarismo (a seguir) é 8, que vai determinar o arredondamento.

Passo 4

Aproximação por arredondamento a 3 dígitos significativos:
  • Olhando para 3,578, os três primeiros dígitos são 3,5,7 e o quarto é 8, portanto ao arredondar o terceiro dígito 7 soma-se 1 (porque o seguinte é \ge 5). Assim:
3,578 \approx 3,58 \quad\Rightarrow\quad \tilde{x}_{\text{arr}} = 3,58\times 10^{-2} = 0,0358.

Passo 5

Cálculo do erro absoluto e relativo (arredondamento):
  • Erro absoluto:
E_{\text{abs, arr}} = |x - \tilde{x}_{\text{arr}}| = |0,03578 - 0,0358| = 0,00002 = 2\times 10^{-5}.
  • Erro relativo:
E_{\text{rel, arr}} = \frac{E_{\text{abs, arr}}}{|x|} = \frac{2\times 10^{-5}}{0,03578}.
Fazendo a divisão numérica (aproximação):
E_{\text{rel, arr}} \approx 5,58943\times 10^{-4}\quad(\text{aprox. }0,000558943).

Passo 6

Aproximação por truncamento (chopping) a 3 dígitos significativos:
  • Partindo de 3,578\times10^{-2}, truncamos depois do terceiro dígito sem arredondar, ficando com 3,57\times10^{-2}. Logo:
\tilde{x}_{\text{trunc}} = 3,57\times10^{-2} = 0,0357.

Passo 7

Cálculo do erro absoluto e relativo (truncamento):
  • Erro absoluto:
E_{\text{abs, trunc}} = |x - \tilde{x}_{\text{trunc}}| = |0,03578 - 0,0357| = 0,00008 = 8\times 10^{-5}.
  • Erro relativo:
E_{\text{rel, trunc}} = \frac{E_{\text{abs, trunc}}}{|x|} = \frac{8\times 10^{-5}}{0,03578}.
Fazendo a divisão numérica (aproximação):
E_{\text{rel, trunc}} \approx 2,23577\times 10^{-3}\quad(\text{aprox. }0,00223577).

Passo 8

Interpretação rápida (para a prova):
  • O arredondamento normalmente dá um erro absoluto menor que o truncamento (aqui 2\times10^{-5} vs 8\times10^{-5}).
  • Em termos relativos a mesma conclusão: o erro relativo do arredondamento é menor que o do truncamento.
  • Na prova, quando pedirem “3 dígitos significativos”, pense primeiro em notação científica para identificar os dígitos significativos; depois aplique arredondamento ou truncamento conforme pedido.

Resposta

Arredondamento (3 dígitos significativos): erro absoluto =2\times10^{-5}
Arredondamento (3 dígitos significativos): erro relativo \approx 5,58943\times10^{-4}
Truncamento (3 dígitos significativos): erro absoluto =8\times10^{-5}
Truncamento (3 dígitos significativos): erro relativo \approx 2,23577\times10^{-3}

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