Determine exemplos para a função iteradora considerando a função f(x)=x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos exemplos de funções de iteração g(x) tais que as raízes da equação
f(x)=x^2-x-2=0
sejam pontos fixos de g, isto é, soluções de x=g(x). O conteúdo aqui é método de ponto fixo: basta reescrever f(x)=0 de várias formas x=g(x).

Passo 2

Começamos isolando o termo quadrático:
x^2-x-2=0Longrightarrow x^2=x+2
Tomando raiz quadrada, obtemos duas possibilidades
**1** g1(x)=raizx+2, **2** g2(x)=-raizx+2

Passo 3

Outra forma é mover -2 para o outro lado:
x^2-x-2=0Longrightarrow x^2-2=x
o que leva a
**3** g3(x)=x^2-2

Passo 4

Também podemos fatorar x em x^2-x=2:
x(x-1)=2 Longrightarrow x=2,x-1,,
ou seja,
**4** g4(x)=2,x-1,

Passo 5

Uma quinta possibilidade é usar o método de Newton, cujo mapeamento de iteração é
g5(x)=x-f(x)f'(x) =x-x^2-x-22x-1

Resposta

Os exemplos de funções iteradoras são:
g1(x)=raizx+2, g2(x)=-raizx+2, g3(x)=x^2-2, g4(x)=2,x-1,, g5(x)=x-x^2-x-22x-1

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