Determine a raiz da função f(x)=x^2-e^-x, no intervalo [0,1] e com erro epsilon=10^-2. obs.: Usar 6 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=x^2-e^-x
no intervalo [0,1] com erro máximo epsilon=10^-2, usando o método da bisseção e apresentando valores com 6 casas decimais.

Passo 2

Verificamos que f é contínua em [0,1] e calculamos as extremidades:
f(0)=0^2-e^0=-1<0, f(1)=1^2-e^-1=1-tfrac1eapprox0,6321>0
Como f(0)cdot f(1)<0, existe uma raiz em [0,1] pelo Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

No método da bisseção, a cada iteração k definimos
ck=tfracak-1+bk-12,
avaliamos f(ck) e escolhemos o subintervalo [ak,bk] que preserva mudança de sinal. O critério de parada é
bk - ak <= epsilon = 0,01
O número mínimo de iterações N satisfaz
2^-N(b0-a0)<=0,01 Longrightarrow N>=ln(1/0,01)ln2approx6,64,
logo precisamos de pelo menos 7 iterações.

Passo 4

Aplicando as iterações e arredondando ak,bk,ck a 6 casas decimais:
k =1: a0=0,000000, b0=1,000000
c1=0,500000, f(c1)approx-0,356530<0
implies a1=0,500000,;b1=1,000000
k =2:
c2=0,750000, f(c2)approx0,090144>0
implies a2=0,500000,;b2=0,750000
k =3:
c3=0,625000, f(c3)approx-0,143408<0
implies a3=0,625000,;b3=0,750000
k =4:
c4=0,687500, f(c4)approx-0,029336<0
implies a4=0,687500,;b4=0,750000
k =5:
c5=0,718750, f(c5)approx0,029357>0
implies a5=0,687500,;b5=0,718750
k =6:
c6=0,703125, f(c6)approx-0,000095<0
implies a6=0,703125,;b6=0,718750
k =7:
c7=0,710937, f(c7)approx0,014549>0
implies a7=0,703125,;b7=0,710937
Agora b7-a7=0,0078125<0,01. O ponto médio do último intervalo é
c=0,703125+0,7109372=0,70703125
Arredondando a 6 casas decimais, obtemos hat r=0,707031.

Resposta

0,707031

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