Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
f(z)=1z^2(z+i).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a expansão de Laurent de
f(z)=1z^2,(z+i)
em torno de cada singularidade, que são (polo de ordem 2) e (polo simples).
Conteúdo: séries de potências e fórmula da série geométrica para reescrever fatores do tipo ou . Vamos usar também expansão em anéis (ou seja, definir regiões de convergência).

Passo 2

Expansão em torno de 1z^2,(z+i)=1z^2,1z+i =1z^2,1i,11+ z i (ou seja, para 11+u=sumn=0^infty(-1)^n,u^n, u=tfrac z i ).
  1. Reescrevemos
1z+i =1isumn=0^infty(-1)^nl( z ir)^n =sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^n
  1. Usamos a série geométrica (válida para f(z)=sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^,n-2 ):
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  1. Multiplicando por :
Pronto, essa é a forma de Laurent em torno de .

Passo 3

Expansão em torno de f(z)=1(w-i)^2,w . Defina 1(w-i)^2 =-1l(1-tfrac w ir)^2 =-sumn=0^infty(n+1)l( w ir)^n, , então f(z)=1w;cdot;l[-sumn=0^infty(n+1)w^ni^nr] =-sumn=0^inftyn+1i^n,w^,n-1, e
  1. Observe
  2. Então
usando a expansão .
3) Finalmente
onde e a série vale para .

Resposta

Expansão de Laurent de boxedf(z)=sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^,n-2 :
  1. Em torno de boxedf(z)=-sumn=0^inftyn+1i^n,(z+i)^,n-1 (para ):
  1. Em torno de (para , com ):

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