Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade: .
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a expansão de Laurent de
em torno de cada singularidade, que são (polo de ordem 2) e (polo simples).
Conteúdo: séries de potências e fórmula da série geométrica para reescrever fatores do tipo ou . Vamos usar também expansão em anéis (ou seja, definir regiões de convergência).
Passo 2
Expansão em torno de (ou seja, para ).
Reescrevemos
Usamos a série geométrica (válida para ):
Logo
Multiplicando por :
Pronto, essa é a forma de Laurent em torno de .
Passo 3
Expansão em torno de f(z)=1(w-i)^2,w . Defina 1(w-i)^2 =-1l(1-tfrac w ir)^2 =-sumn=0^infty(n+1)l( w ir)^n, , então f(z)=1w;cdot;l[-sumn=0^infty(n+1)w^ni^nr] =-sumn=0^inftyn+1i^n,w^,n-1, e
Observe
Então
usando a expansão .
3) Finalmente
onde e a série vale para .
Resposta
Expansão de Laurent de boxedf(z)=sumn=0^infty(-1)^ni^,n+1,z^,n-2 :
Em torno de boxedf(z)=-sumn=0^inftyn+1i^n,(z+i)^,n-1 (para ):