Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a expansão de Laurent da função
em torno de cada singularidade (que são
Conteúdo: séries de Laurent, que misturam potências negativas e positivas de
Passo 2
Expansão em torno de
:
- Escrevemos
2) Note que, pois .
Então
$$\frac1{(z+i)2}=\frac1{i2,(1 - i z)^2}=\frac1{-1},\frac1{(1 - i z)^2}=-,\frac1{(1 - i z)^2},.\frac1{(1-w)2}=\sum_{n=0}{\infty}(n+1),w^n,\quad |w|<1.$$Aqui , então$$\frac1{(1 - i z)2}=\sum_{n=0}\infty (n+1),(i z)^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,zn. \frac1{(z+i)^2}=-,\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,zn. f(z)=\frac1z\biggl[-\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,zn\biggr]=-\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,z{,n-1}. f(z)=-\frac1z-2i+3z-4i,z^2+\cdots,\qquad |z|<1.$$
Passo 3
Expansão em torno de
:
- Definimos
, assim . Então$$f(z)=\frac1{z,(z+i)^2}=\frac1{(w-i),w^2}. w-i= -,i\bigl(1 - \tfrac w i\bigr);\Longrightarrow;
\frac1{w-i}=-\frac1{i},\frac1{1 - \frac w i}=-\frac1{i},\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\frac w i\Bigr)^n\frac1{w-i}=-\frac1{i}\sum_{n=0}\infty\frac{wn}{i^n}=\sum_{n=0}^\infty i{1-n},wn. f(z)=\frac1{w2}\sum_{n=0}\infty i{1-n},wn=\sum_{n=0}^\infty i{1-n},w{,n-2}. f(z)=i,w{-2}+1,w{-1}-i+(-1),w+\cdots,\quad w=z+ i,;|z+i|<1.$$
Resposta
As expansões de Laurent são:
- Em torno de
(válida para ):$$\boxed{f(z)=-\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,z{,n-1} =-\frac1z-2i+3z-4i\,z^2+\cdots.}$$
- Em torno de
(com , válida para ):$$\boxed{f(z)=\sum_{n=0}^\infty i{1-n},w{,n-2} =i\,w^{-2}+w^{-1}-i -w+\cdots.}$$