Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
f(z)=1z(z+i)^2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a expansão de Laurent da função
f(z)=1z,(z+i)^2
em torno de cada singularidade (que são z=0 e z=-i).
Conteúdo: séries de Laurent, que misturam potências negativas e positivas de (z-z0), e damos uso nas séries geométricas/bionomiais para reescrever fatores como 11-w ou 1(1-w)^2.

Passo 2

Expansão em torno de z=0:
  1. Escrevemos f(z)=1z,(z+i)^2=1z;1(z+i)^2,
    2) Note que z+i=il(1 - i,zr), pois i(1-i z)=i+z.
    Então
    $$\frac1{(z+i)2}=\frac1{i2,(1 - i z)^2}=\frac1{-1},\frac1{(1 - i z)^2}=-,\frac1{(1 - i z)^2},. 1(z+i)^2=1i^2,(1 - i z)^2 =1-1,1(1 - i z)^2 =-,1(1 - i z)^2, ãéé\frac1{(1-w)2}=\sum_{n=0}{\infty}(n+1),w^n,\quad |w|<1.$$Aqui 1(1-w)^2=sumn=0^infty(n+1),w^n, |w|<1, então$$\frac1{(1 - i z)2}=\sum_{n=0}\infty (n+1),(i z)^n=\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,zn. w=i z\frac1{(z+i)^2}=-,\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,zn. 1(1 - i z)^2=sumn=0^infty (n+1),(i z)^n =sumn=0^infty (n+1),i^n,z^nf(z)=\frac1z\biggl[-\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,zn\biggr]=-\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,z{,n-1}. 1(z+i)^2 =-,sumn=0^infty (n+1),i^n,z^níf(z)=-\frac1z-2i+3z-4i,z^2+\cdots,\qquad |z|<1.$$

Passo 3

Expansão em torno de z=-i:
  1. Definimos w=z+ i, assim z=w-i. Então$$f(z)=\frac1{z,(z+i)^2}=\frac1{(w-i),w^2}. f(z)=1z,(z+i)^2 =1(w-i),w^2w-i= -,i\bigl(1 - \tfrac w i\bigr);\Longrightarrow;
    \frac1{w-i}=-\frac1{i},\frac1{1 - \frac w i}=-\frac1{i},\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\frac w i\Bigr)^n 1w-iééáã\frac1{w-i}=-\frac1{i}\sum_{n=0}\infty\frac{wn}{i^n}=\sum_{n=0}^\infty i{1-n},wn. w-i= -,il(1 - tfrac w ir) ;Longrightarrow; 1w-i=-1i,11 - w i =-1i,sumn=0^inftyl( w ir)^nf(z)=\frac1{w2}\sum_{n=0}\infty i{1-n},wn=\sum_{n=0}^\infty i{1-n},w{,n-2}. tfrac w if(z)=i,w{-2}+1,w{-1}-i+(-1),w+\cdots,\quad w=z+ i,;|z+i|<1.$$

Resposta

As expansões de Laurent são:
  1. Em torno de z=0 (válida para |z|<1):$$\boxed{f(z)=-\sum_{n=0}^\infty (n+1),in,z{,n-1}
           =-\frac1z-2i+3z-4i\,z^2+\cdots.}$$  
    
  2. Em torno de boxedf(z)=-sumn=0^infty (n+1),i^n,z^,n-1 =-1z-2i+3z-4i,z^2+cdots (com z=-i, válida para w=z+i):$$\boxed{f(z)=\sum_{n=0}^\infty i{1-n},w{,n-2}
           =i\,w^{-2}+w^{-1}-i -w+\cdots.}$$

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