Determine a fatoração
para a matriz tridiagonal:
Passo 1
O exercício pede para escrever A como produto de duas matrizes L e U (fatoração LU).
Conteúdo: decomposição LU via eliminação de Gauss sem pivotamento.
O que vamos usar:
Conteúdo: decomposição LU via eliminação de Gauss sem pivotamento.
O que vamos usar:
- multiplicadores
ô - subtração de linhas para zerar abaixo dos pivôs
- montar L com esses multiplicadores (1 na diagonal)
- montar U como a matriz triangular resultante
Passo 2
Primeira etapa da eliminação (zerar
linha2 & linha2 - tfrac12,linha1 [6pt] (2,5,1) - tfrac12,(4,1,0) &= (2-2,;5-tfrac12,;1-0) = l(0,;tfrac92,;1r) usando pivô
U^(1) = 4 & 1 & 0 0 & tfrac92 & 1 0 & 3 & 6 , ):
- Pivô:
. - Multiplicador
. - Subtraímos
da linha 1 da linha 2: - A linha 3 permanece
porque .
Até aqui, a U parcial é
e em L guardamos
(na posição (2,1)).
Passo 3
Segunda etapa (zerar
linha3 & linha3 - tfrac23,linha2 [6pt] (0,3,6) - tfrac23,(0,tfrac92,1) &= l(0,;3 - 3,;6 - tfrac23r) = l(0,;0,;tfrac163r) usando pivô
U = 4 & 1 & 0 0 & tfrac92 & 1 0 & 0 & tfrac163 , ):
- Multiplicador
. - Subtraímos
da linha 2 da linha 3:
Agora a forma final de U é
e completamos L com
na posição (3,2). Como
,
.
Resposta
A fatoração
L = 1 & 0 & 0 tfrac12 & 1 & 0 0 & tfrac23 & 1 , U = 4 & 1 & 0 0 & tfrac92 & 1 0 & 0 & tfrac163 é dada por