Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, aqui o problema é resolver um sistema 3×3 usando o método de eliminação de Gauss (ou “eliminação por linhas”), primeiro sem fazer pivoteamento parcial e depois já com pivoteamento parcial.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Matriz aumentada (coeficientes + termos independentes)
- Multiplicadores (fator de linha) para zerar abaixo do pivô
- Pivoteamento parcial: trocar linhas quando for preciso para evitar divisões por um pivô muito pequeno
O que vamos precisar: operações de linha (÷, ×, –) na matriz aumentada e, no caso do pivoteamento parcial, comparação de valores absolutos para escolher melhor pivô.
Passo 2
Eliminação SEM pivoteamento parcial
- Escreve a matriz aumentada:
- Primeiro pivô é
. Queremos zerar as entradas abaixo dele (nas linhas 2 e 3):3 & 1 & -2 & vline & 5 -2 & 4 & 3 & vline & 6 1 & -1 & 1 & vline & 2 - Multiplicador
. Fazemos3 & 1 & -2 & vline & 5 0 & tfrac143 & tfrac53 & vline & tfrac283 0 & -tfrac43 & tfrac53 & vline & tfrac13 .3 & 1 & -2 & vline & 5 0 & tfrac143 & tfrac53 & vline & tfrac283 0 & 0 & tfrac157 & vline & 3 - Multiplicador
. Fazemos .
- Multiplicador
- Depois de aplicar essas operações, a matriz vira
- Agora o segundo pivô é
. Queremos zerar só a posição (3,2):- Multiplicador
. - Fazemos
.
- Multiplicador
- A matriz triangular final é
- Agora é só retro-substituir:
-
Passo 3
Eliminação COM pivoteamento parcial
- Na coluna 1, procuramos o maior valor absoluto entre as linhas 1,2 e 3:
. O maior é , que já está em cima, então não trocamos linhas. - O resto do processo é idêntico ao “sem pivoteamento”, porque em cada passo o pivô já é o maior da coluna.
- Chegamos aos mesmos multiplicadores, à mesma matriz triangular e à mesma retro-substituição.