Determine a fatoração LU das seguintes matrizes:

Passo 1

Então, o enunciado pede para fatorar a matriz
A= 3 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2
no produto , onde
  • é triangular inferior com 1’s na diagonal,
  • é triangular superior.
Isso é conteúdo de fatoração LU via eliminação de Gauss (sem trocas de linha), e vamos precisar:
  1. aplicar passo a passo a eliminação pra zerar os elementos abaixo do pivô,
  2. guardar esses “multiplicadores” na ,
  3. as linhas resultantes vão formar a .

Passo 2

Primeira rodada de eliminação, usando m21=a21a11=13, m31=a31a11=43 como pivô.
A ideia é zerar os elementos R2>=ts R2 - m21,R1, R3>=ts R3 - m31,R1 e R2:;(1,1,2)-tfrac13,(3,2,4) =(0,;1-tfrac23,;2-tfrac43)=(0,tfrac13,tfrac23), (primeira coluna, abaixo do pivô).
– Calculamos os multiplicadores:
R3:;(4,3,2)-tfrac43,(3,2,4) =(0,;3-tfrac83,;2-tfrac163) =(0,tfrac13,-tfrac103)
– Subtraímos dessas linhas os pivôs vezes esses multiplicadores:
3 & 2 & 4 0 & tfrac13 & tfrac23 0 & tfrac13 & -tfrac103
Fazendo as contas:
Agora a matriz ficou assim:

Passo 3

Segunda rodada, pivô agora é m32=a32a22 =tfrac13tfrac13=1 . Vamos zerar o elemento abaixo dele, que é R3>=ts R3 - 1cdot R2: ;(0,tfrac13,-tfrac103) -,(0,tfrac13,tfrac23) =(0,0,-tfrac123)=(0,0,-4) .
– Multiplicador
U= 3 & 2 & 4 0 & tfrac13 & tfrac23 0 & 0 & -4
– Atualizamos
Agora a matriz está completamente triangular superior:

Passo 4

Montamos L= 1 & 0 & 0 m21 & 1 & 0 m31 & m32 & 1 = 1 & 0 & 0 tfrac13 & 1 & 0 tfrac43 & 1 & 1 usando 1’s na diagonal e os multiplicadores que usamos:

Resposta

A fatoração L= 1 & 0 & 0 13 & 1 & 0 43 & 1 & 1 , U= 3 & 2 & 4 0 & 13 & 23 0 & 0 & -4 é

Exercícios relacionados