Determine a fatoração LU da matriz seguinte:
A=[rrrr 2 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0.5 & 0 2 & -2 & 1 & 1 1 & 1.5 & 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a fatoração LU da matriz
A = 2 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0.5 & 0 2 & -2 & 1 & 1 1 & 1.5 & 0 & 0
Isso faz parte do conteúdo de decomposição de matrizes – em especial a decomposição LU, onde a gente escreve , com triangular inferior (e 1’s na diagonal) e triangular superior.
Para resolver, vamos usar eliminação de Gauss sem troca de linhas (não precisamos pivotar porque todos os pivôs principais são não-zero). A cada etapa, guardamos o “multiplicador” na matriz e atualizamos a matriz de trabalho que vira .

Passo 2

Primeiro pivô é linha3 & linha3 - 1cdotlinha1 ;Rightarrow;(0,,-2,;1,;1), linha4 & linha4 - tfrac12cdotlinha1 ;Rightarrow;(0,;1.5,;0,;0) . Queremos zerar abaixo na coluna 1:
- na linha 2, U^(1)= 2 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0.5 & 0 0 & -2 & 1 & 1 0 & 1.5 & 0 & 0 ,
- na linha 3, L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 0 & 1
- na linha 4,
Aplicando as operações:
Depois desse passo, nossa parcial é
e em já registramos
(lembrando que as entradas na diagonal de são 1).

Passo 3

Agora pivô é linha3 & linha3 - tfrac23cdotlinha2 ;Rightarrow;(0,0,;2/3,;1), linha4 & linha4 - (-tfrac12)cdotlinha2 ;Rightarrow;(0,0,;0.25,;0) . Zera abaixo na coluna 2:
- na linha 3, U^(2)= 2 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0.5 & 0 0 & 0 & tfrac23 & 1 0 & 0 & 0.25 & 0 ,
- na linha 4, L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & tfrac23 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac12 & 0 & 1
Operações:
Fica
e a gente completa com esses multiplicadores:

Passo 4

Finalmente, pivô linha4 linha4 - tfrac38cdotlinha3 ;Rightarrow;(0,,0,,0,,-tfrac38) . Zera abaixo na coluna 3:
- na linha 4, U = 2 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0.5 & 0 0 & 0 & tfrac23 & 1 0 & 0 & 0 & -tfrac38 , .
Fazendo
L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & tfrac23 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac38 & 1
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e a última entrada de é :

Resposta

A fatoração LU de L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & tfrac23 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac38 & 1 , U = 2 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0.5 & 0 0 & 0 & tfrac23 & 1 0 & 0 & 0 & -tfrac38 , é
de modo que .

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