Seja o cálculo de raiz[p]a, a>0 pelo método de Newton, a partir de x0>0. Qual a expressão da aproximação x2 da raiz?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer aproximar xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) (com ) usando o método de Newton, partindo de um chute inicial .
Conteúdo: método de Newton para resolver .
O que vamos precisar:
  1. Definir .
  2. Calcular .
  3. Usar a fórmula geral de Newton:

Passo 2

Primeiro, monta xn+1 = xn - xn^p - ap,xn^p-1 = xn - xn^pp,xn^p-1 + ap,xn^p-1 = xn - xnp + ap,xn^p-1 = (p-1),xnp + ap,xn^p-1 e xn+1 = (p-1),xn + dfracaxn^,p-1p :
  • .
  • .
    Substituindo na fórmula de Newton:
Ou seja:

Passo 3

Agora achamos x1 = (p-1),x0 + dfracax0^,p-1p (fazendo na fórmula):
Anota aí, porque vai entrar na conta do .

Passo 4

Para x2 = (p-1),x1 + dfracax1^,p-1p , repetimos a fórmula com A = (p-1),x0 + ax0^,p-1 Longrightarrow x1 = Ap :
x2 = (p-1),Ap + dfracal(Apr)^,p-1p = (p-1),A/p + a,p^,p-1/A^,p-1p = (p-1),Ap^2 + a,p^,p-2A^,p-1
Substituindo , chamemos
Então
Voltando para a forma em :

Resposta

x2 = (p-1),l((p-1),x0 + ax0^,p-1r)p^2 ;+; a,p^,p-2l((p-1),x0 + ax0^,p-1r)^,p-1

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