Calcular os limites e o número de raízes reais de P(x)=2 x^3-3 x^2-6 x+5=0 e f(x)=x^4-2 x^3+2 x-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas para cada polinômio:
  1. Calcular os limites quando e .
  2. Descobrir quantas raízes reais eles têm.
    Matéria envolvida: comportamento assintótico de polinômios (que depende do termo de maior grau) e Teorema do Valor Intermediário + teste de raízes racionais/fatoração pra contar raízes. Não vamos pular nadinha!

Passo 2

Polinômio limxto+inftyP(x)=+infty .
Teoria rápida: pra limxto-inftyP(x)=-infty o termo dominante é .
  • Se , , logo
  • Se , , logo

Passo 3

Agora o número de raízes reais de .
  1. Polinômios são funções contínuas. Pelo Teorema do Valor Intermediário, toda vez que troca de sinal num intervalo, tem pelo menos uma raiz ali.
  2. Vamos testar alguns valores “bonitos”:
    • e . Mudou de negativo pra positivo, tem 1 raiz em .
    • e . Mudou de positivo pra negativo, tem 1 raiz em .
    • e . Mudou de negativo pra positivo, tem 1 raiz em .
      Total: 3 trocas de sinal ⇒ 3 raízes reais distintas.

Passo 4

Polinômio limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=+infty .
Termo dominante é , sempre positivo para . Então

Passo 5

Número de raízes reais de f(1)=1-2+2-1=0, .
  1. Teste de raízes racionais simples: tente f(x)=(x-1)l(x^3 -x^2 -x+1r) :
1-1-1+1=0,
então x^2 -1, é raiz.
2) Fatoramos por divisão sintética:
f(x)=(x-1)^3,(x+1)
Dentro desse cubo, teste de novo:
logo outro fator .
Fazendo de novo a divisão, sobra
que fatora como .
No fim
Isso dá raízes reais em (multiplicidade 3) e (multiplicidade 1). No total as quatro raízes são reais, mas só duas distintas.

Resposta

P(x):

Número de raízes reais: 3 distintas.
f(x):

Número de raízes reais: 4 no total (duas distintas: mult. 3 e mult. 1).

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