Calcular os limites e o número de raízes reais de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas para cada polinômio:
- Calcular os limites quando
e . - Descobrir quantas raízes reais eles têm.
Matéria envolvida: comportamento assintótico de polinômios (que depende do termo de maior grau) e Teorema do Valor Intermediário + teste de raízes racionais/fatoração pra contar raízes. Não vamos pular nadinha!
Passo 2
Polinômio
.
Teoria rápida: pra o termo dominante é
.
Teoria rápida: pra
- Se
, , logo
- Se
, , logo
Passo 3
Agora o número de raízes reais de
.
- Polinômios são funções contínuas. Pelo Teorema do Valor Intermediário, toda vez que
troca de sinal num intervalo, tem pelo menos uma raiz ali. - Vamos testar alguns valores “bonitos”:
-
e . Mudou de negativo pra positivo, tem 1 raiz em . -
e . Mudou de positivo pra negativo, tem 1 raiz em . -
e . Mudou de negativo pra positivo, tem 1 raiz em .
Total: 3 trocas de sinal ⇒ 3 raízes reais distintas.
-
Passo 4
Polinômio
.
Termo dominante é , sempre positivo para
. Então
Termo dominante é
Passo 5
Número de raízes reais de
.
- Teste de raízes racionais simples: tente
:
então
é raiz.
2) Fatoramos por divisão sintética:
2) Fatoramos por divisão sintética:
Dentro desse cubo, teste
de novo:
logo outro fator
.
Fazendo de novo a divisão, sobra
Fazendo de novo a divisão, sobra
que fatora como
.
No fim
No fim
Isso dá raízes reais em
(multiplicidade 3) e
(multiplicidade 1). No total as quatro raízes são reais, mas só duas distintas.
Resposta
P(x):
Número de raízes reais: 3 distintas.
f(x):
Número de raízes reais: 4 no total (duas distintas:
mult. 3 e
mult. 1).