Considere a seguinte matriz:
A=[rrr 2 & -1 & 1 3 & 3 & 9 3 & 3 & 5 ]
Faça a fatoração L U da mesma para resolver o sistema linear A x=b onde b=[lll-13 & -6 & -6]^T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear A x = b onde:
A = 2 & -1 & 1 3 & 3 & 9 3 & 3 & 5 , b = -13 -6 -6
A gente vai usar a fatoração LU, que basicamente decompõe a matriz A em duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Com isso, dá pra resolver o sistema em duas etapas mais fáceis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as matrizes L e U. A matriz L terá 1s na diagonal principal e elementos abaixo dela, e a matriz U terá elementos acima e na diagonal principal.
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 3

Agora, vamos igualar A = L U e encontrar os valores de l21, l31, l32, u11, u12, u13, u22, u23, e u33.
Multiplicando L por U:

$$
1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33
A

u11 = 2 u12 = -1 u13 = 1 l21u11 = 3 l21u12 + u22 = 3 l21u13 + u23 = 9 l31u11 = 3 l31u12 + l32u22 = 3 l31u13 + l32u23 + u33 = 5
$$
Igualando com , temos:

Passo 4

Vamos resolver essas equações uma por uma:
  1. Encontrando u11, u12 e u13:
    u11 = 2, u12 = -1, u13 = 1
  2. Encontrando l21:
    l21 cdot 2 = 3 Rightarrow l21 = 32
  3. Encontrando u22:
    32 cdot (-1) + u22 = 3 Rightarrow -32 + u22 = 3 Rightarrow u22 = 92
  4. Encontrando u23:
    32 cdot 1 + u23 = 9 Rightarrow 32 + u23 = 9 Rightarrow u23 = 152
  5. Encontrando l31:
    l31 cdot 2 = 3 Rightarrow l31 = 32
  6. Encontrando l32:
    32 cdot (-1) + l32 cdot 92 = 3 Rightarrow -32 + 92 l32 = 3
    92 l32 = 92 Rightarrow l32 = 1
  7. Encontrando u33:
    32 cdot 1 + 1 cdot 152 + u33 = 5
    32 + 152 + u33 = 5 Rightarrow 182 + u33 = 5 Rightarrow 9 + u33 = 5 Rightarrow u33 = -4

Passo 5

Agora que temos todos os elementos, vamos montar as matrizes L e U:
L = 1 & 0 & 0 32 & 1 & 0 32 & 1 & 1 , U = 2 & -1 & 1 0 & 92 & 152 0 & 0 & -4

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema A x = b usando L e U. Primeiro, resolvemos L y = b para encontrar y:
1 cdot y1 = -13 Rightarrow y1 = -13 32 y1 + y2 = -6 Rightarrow 32 cdot (-13) + y2 = -6 Rightarrow -19.5 + y2 = -6 Rightarrow y2 = 13.5 32 y1 + y2 + y3 = -6 Rightarrow 32 cdot (-13) + 13.5 + y3 = -6 Rightarrow -19.5 + 13.5 + y3 = -6 Rightarrow y3 = 0
Então,
y = -13 13.5 0

Passo 7

Agora, resolvemos U x = y para encontrar x:
2 x1 - x2 + x3 = -13 92 x2 + 152 x3 = 13.5 -4 x3 = 0
  1. Encontrando x3:
    -4 x3 = 0 Rightarrow x3 = 0
  2. Encontrando x2:
    92 x2 + 152 cdot 0 = 13.5 Rightarrow 92 x2 = 13.5 Rightarrow x2 = 13.5 times 29 = 3
  3. Encontrando x1:
    2 x1 - 3 + 0 = -13 Rightarrow 2 x1 = -10 Rightarrow x1 = -5

Resposta

A solução do sistema é:
x = -5 3 0

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