Considere a seguinte matriz:
Faça a fatoração
L U da mesma para resolver o sistema linear
A x=b onde
b=[lll-13 & -6 & -6]^T .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear
A x = b onde:
A gente vai usar a fatoração LU, que basicamente decompõe a matriz
A em duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Com isso, dá pra resolver o sistema em duas etapas mais fáceis.
Passo 2
Primeiro, vamos montar as matrizes L e U. A matriz L terá 1s na diagonal principal e elementos abaixo dela, e a matriz U terá elementos acima e na diagonal principal.
Passo 3
Agora, vamos igualar
A = L U e encontrar os valores de
l21 ,
l31 ,
l32 ,
u11 ,
u12 ,
u13 ,
u22 ,
u23 , e
u33 .
Multiplicando
L por
U :
$$
1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33
A
$$
Igualando com
, temos:
Passo 4
Vamos resolver essas equações uma por uma:
-
Encontrando
,u11 eu12 :u13 u11 = 2, u12 = -1, u13 = 1 -
Encontrando
:l21 l21 cdot 2 = 3 Rightarrow l21 = 32 -
Encontrando
:u22 32 cdot (-1) + u22 = 3 Rightarrow -32 + u22 = 3 Rightarrow u22 = 92 -
Encontrando
:u23 32 cdot 1 + u23 = 9 Rightarrow 32 + u23 = 9 Rightarrow u23 = 152 -
Encontrando
:l31 l31 cdot 2 = 3 Rightarrow l31 = 32 -
Encontrando
:l32 32 cdot (-1) + l32 cdot 92 = 3 Rightarrow -32 + 92 l32 = 3 92 l32 = 92 Rightarrow l32 = 1 -
Encontrando
:u33 32 cdot 1 + 1 cdot 152 + u33 = 5 32 + 152 + u33 = 5 Rightarrow 182 + u33 = 5 Rightarrow 9 + u33 = 5 Rightarrow u33 = -4
Passo 5
Agora que temos todos os elementos, vamos montar as matrizes L e U:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema
A x = b usando
L e
U . Primeiro, resolvemos
L y = b para encontrar
y :
Então,
Passo 7
Agora, resolvemos
U x = y para encontrar
x :
-
Encontrando
:x3 -4 x3 = 0 Rightarrow x3 = 0 -
Encontrando
:x2 92 x2 + 152 cdot 0 = 13.5 Rightarrow 92 x2 = 13.5 Rightarrow x2 = 13.5 times 29 = 3 -
Encontrando
:x1 2 x1 - 3 + 0 = -13 Rightarrow 2 x1 = -10 Rightarrow x1 = -5
Resposta
A solução do sistema é: