Utilize o método da bissecção para encontrar os valores que anulam a função abaixo: considerar varepsilon=10 \% e K_{\text {max }}=5.
a) f(x)=x^{3}-6 x+3 para o intervalo [-3 ; 3] \operatorname{com} h=1

Passo 1

O enunciado pede para aproximar as raízes da função
f(x)=x^{3}-6x+3
no intervalo [-3,3] usando o método da bissecção, com varredura em passos de h=1, tolerância de erro relativo \varepsilon=10\% e número máximo de iterações K_{\text{max}}=5.
O método da bissecção consiste em:
  1. Encontrar subintervalos onde f muda de sinal (usando o passo h).
  2. Em cada subintervalo [a,b] com f(a)\,f(b)<0, calcular o ponto médio m=(a+b)/2.
  3. Verificar o sinal de f(m) para escolher o novo subintervalo.
  4. Calcular o erro relativo aproximado
E_{\text{rel}}=\left|\frac{m^{(k)}-m^{(k-1)}}{m^{(k)}}\right|\times100\%
e parar se E_{\text{rel}}\le10\% ou se k=K_{\text{max}}.

Passo 2

Avaliamos f nos pontos x=-3,-2,-1,0,1,2,3:
f(-3)=-27+18+3=-6,\quad f(-2)=-8+12+3=7,\quad f(-1)=-1+6+3=8,
f(0)=3,\quad f(1)=1-6+3=-2,\quad f(2)=8-12+3=-1,\quad f(3)=27-18+3=12.
Há mudanças de sinal em [-3,-2], em [0,1] e em [2,3]. Vamos aplicar a bissecção em cada um.

Passo 3

Intervalo [-3,-2]:
Iteração 1:
m_{1}=\frac{-3+(-2)}{2}=-2,5,\quad f(m_{1})=(-2,5)^{3}-6(-2,5)+3=2,375.
Como f(-3)<0 e f(m_{1})>0, novo intervalo [-3,-2,5].
Iteração 2:
m_{2}=\frac{-3+(-2,5)}{2}=-2,75,\quad f(m_{2})=(-2,75)^{3}-6(-2,75)+3=-1,296875.
O erro relativo é
E_{\text{rel}}=\left|\frac{-2,75-(-2,5)}{-2,75}\right|\times100\%\approx9,09\%<10\%.
Como E_{\text{rel}}\le10\% e k=2\le5, paramos com raiz aproximada
x_{1}\approx-2,75.

Passo 4

Intervalo [0,1]:
Iteração 1:
m_{1}=0,5,\quad f(m_{1})=0,5^{3}-6\cdot0,5+3=0,125,
sinal em [0,1]\to[0,5,1] muda para [0,5,1] já que f(0)>0, f(0,5)>0, f(1)<0.
Iteração 2:
m_{2}=0,75,\quad f(m_{2})=0,75^{3}-6\cdot0,75+3=-1,078125,\quad E_{\text{rel}}\approx11,11\%>10\%.
Intervalo vira [0,5,0,75].
Iteração 3:
m_{3}=0,625,\quad f(m_{3})=0,625^{3}-6\cdot0,625+3=-0,5058594,\quad E_{\text{rel}}\approx20\%>10\%.
Intervalo vira [0,5,0,625].
Iteração 4:
m_{4}=0,5625,\quad f(m_{4})=0,5625^{3}-6\cdot0,5625+3=-0,1970215,\quad E_{\text{rel}}\approx11,11\%>10\%.
Intervalo vira [0,5,0,5625].
Iteração 5:
m_{5}=0,53125,\quad f(m_{5})=0,53125^{3}-6\cdot0,53125+3=-0,037841,\quad E_{\text{rel}}\approx5,88\%<10\%.
Como k=5 e E_{\text{rel}}\le10\%, paramos com
x_{2}\approx0,53125.

Passo 5

Intervalo [2,3]:
Iteração 1:
m_{1}=2,5,\quad f(m_{1})=2,5^{3}-6\cdot2,5+3=3,625,
novo intervalo [2,2,5].
Iteração 2:
m_{2}=2,25,\quad f(m_{2})=2,25^{3}-6\cdot2,25+3=0,890625,\quad E_{\text{rel}}\approx11,11\%>10\%.
Intervalo vira [2,25].
Iteração 3:
m_{3}=2,125,\quad f(m_{3})=2,125^{3}-6\cdot2,125+3=-0,204102,\quad E_{\text{rel}}\approx5,88\%<10\%.
Como E_{\text{rel}}\le10\% e k=3\le5, paramos com
x_{3}\approx2,125.

Resposta

\displaystyle x\approx-2,75,\quad x\approx0,53125,\quad x\approx2,125

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