Determine a função de interpolação g(x)=\sum_{k=0}^{2} \alpha_{k} \cdot x^{k} que passa pelos pontos da tabela ao lado. Resolva pelo Método de Sistemas ou Lagrange:
x y
1 2
2 8
4 62

Passo 1

O enunciado pede uma parábola
g(x)=\sum_{k=0}^{2}\alpha_{k}\,x^{k}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}
que passa pelos pontos (1,2), (2,8) e (4,62). Vamos determinar \alpha_{0}, \alpha_{1} e \alpha_{2} montando um sistema linear.

Passo 2

Substituindo cada ponto em g(x) obtemos o sistema
\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot1+\alpha_{2}\cdot1^{2}=2
\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot2+\alpha_{2}\cdot2^{2}=8
\alpha_{0}+\alpha_{1}\cdot4+\alpha_{2}\cdot4^{2}=62

Passo 3

Para eliminar \alpha_{0}, subtraímos a primeira equação das outras duas:
da segunda menos a primeira surge
\alpha_{1}+3\alpha_{2}=6,
da terceira menos a primeira surge
3\alpha_{1}+15\alpha_{2}=60.
Subtraindo essas duas equações conseguimos
(3\alpha_{1}+15\alpha_{2})-(\alpha_{1}+3\alpha_{2})=60-6 \;\Longrightarrow\; 2\alpha_{2}=14 \;\Longrightarrow\; \alpha_{2}=7.
Voltando em \alpha_{1}+3\alpha_{2}=6
\alpha_{1}=6-3\cdot7=-15.

Passo 4

Finalmente, substituímos \alpha_{1}=-15 e \alpha_{2}=7 na primeira equação
\alpha_{0}-15+7=2 \;\Longrightarrow\; \alpha_{0}=2+15-7=10.

Resposta

A função de interpolação é
g(x)=10-15x+7x^{2}.

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