Determine a soluçăo do sistema de equações lineares ao lado, pelo Método de Jacobi ou Gauss-Seidel, adotando \varepsilon=0,02 :
\left\{\begin{array}{l} 20 x+y+z=23,30 \\\\ 2 x+10 y+z=11,42, \\\ x+y+z=8,35 \end{array} \quad\left\{\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right\}^{(1)}=\left\{\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right\}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por um método iterativo (Jacobi ou Gauss–Seidel), o sistema
\begin{cases} 20x + y + z = 23,30,\\\\ 2x + 10y + z = 11,42,\\\ x + y + z = 8,35, \end{cases}
começando em (x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(1,1,1) e usando \varepsilon=0,02 como critério de parada. Vamos aplicar o método de Gauss–Seidel, que atualiza cada variável assim que é calculada, e interrompe quando
\max\bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|,\;\bigl|y^{(k)}-y^{(k-1)}\bigr|,\;\bigl|z^{(k)}-z^{(k-1)}\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Isolamos cada incógnita para obter as fórmulas de iteração Gauss–Seidel:
x = \frac{23,30 - y - z}{20},\quad y = \frac{11,42 - 2x - z}{10},\quad z = 8,35 - x - y.

Passo 3

Iteração k=1, partindo de (x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(1,1,1):
x^{(1)}=\frac{23,30 - 1 - 1}{20}=1,065,
y^{(1)}=\frac{11,42 - 2\cdot1,065 - 1}{10}=\frac{11,42 - 2,13 - 1}{10}=0,829,
z^{(1)}=8,35 - 1,065 - 0,829=6,456.

Passo 4

Iteração k=2, usando os valores atuais em cada passo:
x^{(2)}=\frac{23,30 - 0,829 - 6,456}{20}=0,801,
y^{(2)}=\frac{11,42 - 2\cdot0,801 - 6,456}{10}=0,336,
z^{(2)}=8,35 - 0,801 - 0,336=7,213.

Passo 5

Iteração k=3:
x^{(3)}=\frac{23,30 - 0,336 - 7,213}{20}=0,788,
y^{(3)}=\frac{11,42 - 2\cdot0,788 - 7,213}{10}=0,263,
z^{(3)}=8,35 - 0,788 - 0,263=7,299.

Passo 6

Iteração k=4:
x^{(4)}=\frac{23,30 - 0,263 - 7,299}{20}=0,787,
y^{(4)}=\frac{11,42 - 2\cdot0,787 - 7,299}{10}=0,255,
z^{(4)}=8,35 - 0,787 - 0,255=7,308.
Calculamos as diferenças máximas
|x^{(4)}-x^{(3)}|=0,001,\; |y^{(4)}-y^{(3)}|=0,008,\; |z^{(4)}-z^{(3)}|=0,009<\varepsilon=0,02,
portanto o critério de parada está satisfeito.

Resposta

x\approx0,787,\quad y\approx0,255,\quad z\approx7,308.

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