Dado o PVI abaixo, determine Y(\pi / 8) pelo Método de Runge-Kutta ( 2^{a} Ordem) considerando h=\pi / 16. Em seguida calcule o erro percentual \varepsilon \% conhecendo a solução analitica y(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{4}-\operatorname{sen}(x) :
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(x)=f(x) \\\ y(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O problema dá a condição inicial
y'(x)=f(x),\quad y(0)=0,
e pede Y(\pi/8) usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem com passo h=\pi/16. Além disso, conhecemos a solução analítica
y(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}-\operatorname{sen}(x),
o que nos permite obter
f(x)=y'(x)=x^4 - x^3 - \cos(x).
Vamos usar a fórmula explícita de 2ª ordem (método do ponto médio):
k_1 = f(x_n),\quad k_2 = f\!\bigl(x_n + \tfrac h2\bigr),\quad y_{n+1} = y_n + h\,k_2.

Passo 2

Aplicamos o primeiro passo de x_0=0 a x_1=\pi/16.
Calculamos
k_1 = f(0)=0^4-0^3-\cos(0)=-1,
k_2 = f\!\bigl(\tfrac\pi{32}\bigr) =\Bigl(\tfrac\pi{32}\Bigr)^4 -\Bigl(\tfrac\pi{32}\Bigr)^3 -\cos\!\bigl(\tfrac\pi{32}\bigr) \approx -0,99603.
Logo,
y_1 = y_0 + h\,k_2 =0 + \frac\pi{16}\cdot(-0,99603) \approx -0,1956.

Passo 3

Aplicamos o segundo passo de x_1=\pi/16 a x_2=\pi/8.
Calculamos
k_1 = f\!\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr) =\Bigl(\tfrac\pi{16}\Bigr)^4 -\Bigl(\tfrac\pi{16}\Bigr)^3 -\cos\!\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr) \approx -0,98687,
k_2 = f\!\Bigl(\tfrac\pi{16}+\tfrac h2\Bigr) =f\!\bigl(\tfrac{3\pi}{32}\bigr) \approx -0,97500.
Portanto,
y_2 = y_1 + h\,k_2 \approx -0,1956 + \frac\pi{16}\cdot(-0,97500) \approx -0,3869.

Passo 4

Agora calculamos a solução analítica em x=\pi/8:
y\!\bigl(\tfrac\pi8\bigr) =\frac{(\pi/8)^5}{5} -\frac{(\pi/8)^4}{4} -\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac\pi8\bigr) \approx -0,386760.
O erro absoluto é
\Delta = \bigl|y_2 - y(\tfrac\pi8)\bigr| \approx 0,00014,
e o erro percentual
\varepsilon\% = \frac{\Delta}{\bigl|y(\tfrac\pi8)\bigr|}\times100\% \approx 0,036\%.

Resposta

Y(\pi/8)\approx -0,3869 pelo método de Runge–Kutta de 2ª ordem com h=\pi/16.
Erro percentual \varepsilon\%\approx0,036\%.

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