Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
f(z)=\frac{z+3}{z-1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função complexa \displaystyle f(z)=\frac{z+3}{z-1}.\n
Informações dadas:
\text{A função } f \text{ está definida em } z\in\mathbb{C}, \text{ com } f(z)=\frac{z+3}{z-1}.çãá
\n
O que precisamos encontrar explicitamente: a função u(x,y) que dá a parte real de f e a função v(x,y) que dá a parte imaginária de f, escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais e imaginárias para manipular a expressão: tome
z = x + i y,
onde x=\Re(z) e y=\Im(z) são números reais. Isso transforma o problema em álgebra com x e y.

Passo 3

Substituindo z=x+iy em f(z) obtemos o numerador e o denominador em termos de x e y:
z+3 = (x+3) + i y,
z-1 = (x-1) + i y.
Queremos escrever f(z) na forma
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
ou seja, separar a parte real u e a parte imaginária v.

Passo 4

Para separar partes real e imaginária de uma fração complexa, usamos o truque de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de (x-1)+iy é (x-1)-iy. Multiplicando por esse conjugado obtemos um denominador real (o módulo ao quadrado), o que facilita a separação:
f(z)=\frac{(x+3)+iy}{(x-1)+iy}\cdot\frac{(x-1)-iy}{(x-1)-iy} = \frac{\big((x+3)+iy\big)\big((x-1)-iy\big)}{(x-1)^2+y^2}.
Aqui usei o fato de que
\big((x-1)+iy\big)\big((x-1)-iy\big)=(x-1)^2+y^2,
que é o quadrado do módulo do denominador.

Passo 5

Agora calculamos o produto no numerador passo a passo. Seja a=x+3 e b=y para clareza, e c=x-1 e d=-y (pois o segundo fator é c+id). Usando a multiplicação (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc), temos:
ac = (x+3)(x-1)=x^2+2x-3,
bd = y\cdot(-y) = -y^2,
ac - bd = x^2+2x-3 -(-y^2)=x^2+2x-3+y^2.
Para a parte imaginária do numerador:
ad+bc = (x+3)(-y) + y(x-1) = -y(x+3) + y(x-1) = y\big((x-1)-(x+3)\big).
Observe que (x-1)-(x+3) = -4, então
ad+bc = y\cdot(-4) = -4y.
Portanto o numerador é
\big((x+3)+iy\big)\big((x-1)-iy\big) = \big(x^2+2x-3+y^2\big) + i\big(-4y\big).

Passo 6

Dividindo pelo denominador real (x-1)^2+y^2 obtemos a forma com as partes separadas:
f(z)=\frac{x^2+2x-3+y^2}{(x-1)^2+y^2} \;+\; i\;\frac{-4y}{(x-1)^2+y^2}.
Assim a parte real e a parte imaginária ficam explícitas como funções reais de x e y.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: para qualquer x,y tal que (x-1)^2+y^2\neq 0 (ou seja, z\neq 1), temos
u(x,y)=\frac{x^2+y^2+2x-3}{(x-1)^2+y^2},\qquad v(x,y)=\frac{-4y}{(x-1)^2+y^2}.
Uma checagem simples: se y=0 (ou seja z real), então v=0 como era de esperar, e
u(x,0)=\frac{x^2+2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)^2}=\frac{x+3}{x-1},
que coincide com a expressão original para z real.

Resposta

\Re f(z)=\frac{x^{2}+y^{2}+2x-3}{(x-1)^{2}+y^{2}}
\Im f(z)=\frac{-4y}{(x-1)^{2}+y^{2}}

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