Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função complexa
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
\n
O que precisamos encontrar explicitamente: a função que dá a parte real de
e a função
que dá a parte imaginária de
, escrevendo
com
.
O que precisamos encontrar explicitamente: a função
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas reais e imaginárias para manipular a expressão: tome
onde
e
são números reais. Isso transforma o problema em álgebra com
e
.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos o numerador e o denominador em termos de
e
:
Queremos escrever
na forma
ou seja, separar a parte real
e a parte imaginária
.
Passo 4
Para separar partes real e imaginária de uma fração complexa, usamos o truque de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Multiplicando por esse conjugado obtemos um denominador real (o módulo ao quadrado), o que facilita a separação:
Aqui usei o fato de que
que é o quadrado do módulo do denominador.
Passo 5
Agora calculamos o produto no numerador passo a passo. Seja
e
para clareza, e
e
(pois o segundo fator é
). Usando a multiplicação
, temos:
Para a parte imaginária do numerador:
Observe que
, então
Portanto o numerador é
Passo 6
Dividindo pelo denominador real
obtemos a forma com as partes separadas:
Assim a parte real e a parte imaginária ficam explícitas como funções reais de
e
.
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: para qualquer
tal que
(ou seja,
), temos
Uma checagem simples: se
(ou seja
real), então
como era de esperar, e
que coincide com a expressão original para
real.