Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
f(z)=3 j \bar{z}+4(j+z)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função complexa f(z)=3\,j\,\overline{z}+4(j+z). Informações que temos: \,z é um número complexo arbitrário, j é a unidade imaginária (ou seja j^2=-1), e \overline{z} é o conjugado de z. Não há figuras nem outros dados.

Passo 2

Vamos representar z em coordenadas reais para separar claramente as partes real e imaginária. Escrevemos
z = x + j\,y,
onde x e y são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de z. Por definição,
\overline{z} = x - j\,y.
Explicação rápida: escrever z como x+j y é só trocar a letra abstrata z por duas variáveis reais x e y — isso é o que nos permite identificar a parte real (o termo sem j) e a parte imaginária (o coeficiente de j).

Passo 3

Agora substituímos \overline{z} na expressão dada. Primeiro calculamos o termo 3\,j\,\overline{z}:
3\,j\,\overline{z} = 3\,j\,(x - j\,y).
Fazendo a distribuição:
3\,j\,(x - j\,y) = 3\,j\,x - 3\,j^2\,y.
Como j^2=-1, o segundo termo vira positivo:
-3\,j^2\,y = -3(-1)y = 3y.
Portanto
3\,j\,\overline{z} = 3y + 3j\,x.
Observação didática: note que 3y é um termo puramente real (não tem j) e 3j\,x é puramente imaginário.

Passo 4

Agora calculamos o outro pedaço 4(j+z). Substituindo z=x+jy obtemos:
4(j+z) = 4\big(j + (x + j\,y)\big) = 4(x) + 4j + 4j\,y.
Organizando:
4(j+z) = 4x + 4j + 4j\,y.
Aqui 4x é real e 4j + 4j\,y = j(4 + 4y) é a parte imaginária desse termo.

Passo 5

Somamos os dois resultados para obter f(z):
f(z) = (3y + 3j\,x) + (4x + 4j + 4j\,y).
Agrupando as partes reais (sem j) e as partes multiplicando j:
f(z) = \underbrace{(4x + 3y)}_{\text{parte real}} \;+\; j\underbrace{(3x + 4 + 4y)}_{\text{parte imaginária}}.á
Assim identificamos as funções que pediram:
u(x,y)=4x+3y
e
v(x,y)=3x+4y+4.
Rápida verificação mental: se x=0 e y=0 (ou seja z=0), então f(0)=4j — pela fórmula acima u(0,0)=0 e v(0,0)=4, consistente.

Resposta

u(x,y)=4x+3y
v(x,y)=3x+4y+4

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