Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa: f(z)=3 j \bar{z}+4(j+z)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função complexa f(z)=3\,j\,\overline{z}+4(j+z). Informações que temos: \,z é um número complexo arbitrário, j é a unidade imaginária (ou seja j^2=-1), e \overline{z} é o conjugado de z. Não há figuras nem outros dados.
Passo 2
Vamos representar z em coordenadas reais para separar claramente as partes real e imaginária. Escrevemos
z = x + j\,y,
onde x e y são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de z. Por definição,
\overline{z} = x - j\,y.
Explicação rápida: escrever z como x+j y é só trocar a letra abstrata z por duas variáveis reais x e y — isso é o que nos permite identificar a parte real (o termo sem j) e a parte imaginária (o coeficiente de j).
Passo 3
Agora substituímos \overline{z} na expressão dada. Primeiro calculamos o termo 3\,j\,\overline{z}:
3\,j\,\overline{z} = 3\,j\,(x - j\,y).
Fazendo a distribuição:
3\,j\,(x - j\,y) = 3\,j\,x - 3\,j^2\,y.
Como j^2=-1, o segundo termo vira positivo:
-3\,j^2\,y = -3(-1)y = 3y.
Portanto
3\,j\,\overline{z} = 3y + 3j\,x.
Observação didática: note que 3y é um termo puramente real (não tem j) e 3j\,x é puramente imaginário.
Passo 4
Agora calculamos o outro pedaço 4(j+z). Substituindo z=x+jy obtemos: