Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função complexa
Informações dadas que vamos usar:
é uma variável complexa arbitrária;
é a unidade imaginária;
é o módulo (valor absoluto) de um número complexo. Observação importante que vem do próprio enunciado: a expressão envolve
no denominador, portanto a função não está definida quando
, isto é, em
.
Passo 2
Vamos representar
pelas suas coordenadas reais e imaginárias. Escrevemos
onde
e
são números reais, sendo
e
. Essa escrita é padrão: cada número complexo corresponde a um ponto
no plano.
Passo 3
Calculemos
usando a forma
. Subtrair
equivale a subtrair
, logo
Aqui eu apenas juntei as partes reais e imaginárias separadamente: a parte real continua
e a parte imaginária passa a ser
.
Passo 4
Agora precisamos do módulo
. Lembre que o módulo de um número complexo
é
. Aplicando isso a
temos
Explicando a ideia: o módulo é a distância do ponto
ao ponto
no plano; por isso aparece
.
Passo 5
Substituímos o numerador e o denominador na função. Temos
Como o denominador é um número real positivo (exceto no ponto proibido
), dividir um número complexo por esse real é só dividir cada parte real e imaginária por esse real. Logo podemos separar as partes:
Isto já dá diretamente a parte real e a parte imaginária em termos de
e
. Repare que essa operação é válida porque
para todo
com
.
Passo 6
Agora explico didaticamente o que significa cada uma das expressões que obtivemos. A parte real é a projeção da unidade vetorial
sobre o eixo
, enquanto a parte imaginária é a projeção sobre o eixo
. Outra verificação útil e simples: o módulo de
é 1 (novamente para
), porque
Isso bate com a interpretação geométrica:
é o número complexo de módulo 1 que tem a mesma direção (argumento) de
; é a “versão normalizada” de
.
Passo 7
Um pequeno exemplo concreto só pra fixar: escolha
(ou seja
,
). Então
e
. Assim
que é o número de módulo 1 com ângulo
. Isso mostra como aplicar diretamente as fórmulas obtidas.