Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
f(z)=\frac{z-j}{|z-j|}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a parte real e a parte imaginária da função complexa
f(z)=\frac{z-j}{|z-j|}
Informações dadas que vamos usar: z é uma variável complexa arbitrária; j é a unidade imaginária; |\cdot| é o módulo (valor absoluto) de um número complexo. Observação importante que vem do próprio enunciado: a expressão envolve |z-j| no denominador, portanto a função não está definida quando |z-j|=0, isto é, em z=j.

Passo 2

Vamos representar z pelas suas coordenadas reais e imaginárias. Escrevemos
z = x + j y,
onde x e y são números reais, sendo x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z). Essa escrita é padrão: cada número complexo corresponde a um ponto (x,y) no plano.

Passo 3

Calculemos z-j usando a forma x+j y. Subtrair j equivale a subtrair 0 + j\cdot 1, logo
z-j = x + j y - j = x + j(y-1).
Aqui eu apenas juntei as partes reais e imaginárias separadamente: a parte real continua x e a parte imaginária passa a ser y-1.

Passo 4

Agora precisamos do módulo |z-j|. Lembre que o módulo de um número complexo a + j b é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aplicando isso a z-j = x + j(y-1) temos
|z-j| = \sqrt{x^{2} + (y-1)^{2}}.
Explicando a ideia: o módulo é a distância do ponto (x,y) ao ponto (0,1) no plano; por isso aparece y-1.

Passo 5

Substituímos o numerador e o denominador na função. Temos
f(z)=\frac{z-j}{|z-j|}=\frac{x + j(y-1)}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}.
Como o denominador é um número real positivo (exceto no ponto proibido z=j), dividir um número complexo por esse real é só dividir cada parte real e imaginária por esse real. Logo podemos separar as partes:
f(z)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}} \;+\; j\,\frac{y-1}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}.
Isto já dá diretamente a parte real e a parte imaginária em termos de x e y. Repare que essa operação é válida porque \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}>0 para todo (x,y) com z\neq j.

Passo 6

Agora explico didaticamente o que significa cada uma das expressões que obtivemos. A parte real é a projeção da unidade vetorial (x,y-1) sobre o eixo x, enquanto a parte imaginária é a projeção sobre o eixo y. Outra verificação útil e simples: o módulo de f(z) é 1 (novamente para z\neq j), porque
\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{y-1}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}\right)^{2} =\frac{x^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}+(y-1)^{2}}=1.
Isso bate com a interpretação geométrica: f(z) é o número complexo de módulo 1 que tem a mesma direção (argumento) de z-j; é a “versão normalizada” de z-j.

Passo 7

Um pequeno exemplo concreto só pra fixar: escolha z=1+j2 (ou seja x=1, y=2). Então y-1=1 e \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}. Assim
f(1+j2)=\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}},
que é o número de módulo 1 com ângulo \pi/4. Isso mostra como aplicar diretamente as fórmulas obtidas.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Re}f(z)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}
\displaystyle \operatorname{Im}f(z)=\frac{y-1}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}

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