Questāo (2,5 Pontos): Conversão de número nos sistemas decimal e binária.
(1,0 ponto): Converter o número decimal para binário;
( 89.3190 ) 10= ?

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal (89.3190)_{10} para o sistema binário.
Informações relevantes fornecidas: o número tem parte inteira 89 e parte fracionária 0,3190.
Pergunta clara: qual é a representação binária de (89.3190)_{10} ?

Passo 2

Estratégia (apenas para organizar a solução): vamos separar o problema em duas partes — converter a parte inteira 89 para binário e converter a parte fracionária 0,3190 para binário — e depois juntar os resultados. Esta separação é padrão porque os métodos são diferentes: divisão sucessiva por 2 para a parte inteira e multiplicações sucessivas por 2 para a parte fracionária. Vou mostrar cada passo detalhadamente para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Conversão da parte inteira 89 pelo método das divisões sucessivas por 2. A ideia: dividir por 2, anotar o resto (que será 0 ou 1), e repetir com o quociente até o quociente ser 0. Os restos lidos de baixo para cima dão os dígitos binários (do bit mais significativo para o menos significativo).
Anotações das divisões:
\begin{aligned} 89 \div 2 &= 44\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 44 \div 2 &= 22\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 22 \div 2 &= 11\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 11 \div 2 &= 5\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 5 \div 2 &= 2\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 2 \div 2 &= 1\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 1 \div 2 &= 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{aligned}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os bits: 1\,0\,1\,1\,0\,0\,1. Portanto a parte inteira em binário é
(89)_{10} = (1011001)_2.

Passo 4

Conversão da parte fracionária 0,3190. Método (explicando didaticamente): para uma fração decimal x entre 0 e 1, multiplica-se por 2. O inteiro resultante (ou 0 ou 1) é o próximo bit fracionário em binário; depois toma-se apenas a parte fracionária do produto e repete-se. Formalmente, se x_0=x e x_{k+1}=2x_k-\lfloor 2x_k\rfloor, então o k-ésimo bit é \lfloor 2x_k\rfloor. Para frações decimais cuja representação em base 10 tem fator 5 no denominador (como 1000=2^3\cdot5^3), a representação em binário será periódica (infinita), então teremos uma expansão binária não finita — nesse caso vamos calcular uma aproximação com vários bits.

Passo 5

Aplicando o método por multiplicações sucessivas a x_0 = 0,3190. Em cada linha mostro o produto por 2, o inteiro obtido (bit) e a nova parte fracionária:
\begin{aligned} 2\cdot 0{,}3190 &= 0{,}6380\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_1=0,\\ \text{resto}=0{,}6380\\\\ 2\cdot 0{,}6380 &= 1{,}2760\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_2=1,\\ \text{resto}=0{,}2760\\\\ 2\cdot 0{,}2760 &= 0{,}5520\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_3=0,\\ \text{resto}=0{,}5520\\\\ 2\cdot 0{,}5520 &= 1{,}1040\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_4=1,\\ \text{resto}=0{,}1040\\\\ 2\cdot 0{,}1040 &= 0{,}2080\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_5=0,\\ \text{resto}=0{,}2080\\\\ 2\cdot 0{,}2080 &= 0{,}4160\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_6=0,\\ \text{resto}=0{,}4160\\\\ 2\cdot 0{,}4160 &= 0{,}8320\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_7=0,\\ \text{resto}=0{,}8320\\\\ 2\cdot 0{,}8320 &= 1{,}6640\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_8=1,\\ \text{resto}=0{,}6640\\\\ 2\cdot 0{,}6640 &= 1{,}3280\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_9=1,\\ \text{resto}=0{,}3280\\\\ 2\cdot 0{,}3280 &= 0{,}6560\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{10}=0,\\ \text{resto}=0{,}6560\\\\ 2\cdot 0{,}6560 &= 1{,}3120\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{11}=1,\\ \text{resto}=0{,}3120\\\\ 2\cdot 0{,}3120 &= 0{,}6240\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{12}=0,\\ \text{resto}=0{,}6240\\\\ 2\cdot 0{,}6240 &= 1{,}2480\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{13}=1,\\ \text{resto}=0{,}2480\\\\ 2\cdot 0{,}2480 &= 0{,}4960\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{14}=0,\\ \text{resto}=0{,}4960\\\\ 2\cdot 0{,}4960 &= 0{,}9920\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{15}=0,\\ \text{resto}=0{,}9920\\\\ 2\cdot 0{,}9920 &= 1{,}9840\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{16}=1,\\ \text{resto}=0{,}9840 \end{aligned}
Assim, os primeiros 16 bits da parte fracionária em binário são
0\;1\;0\;1\;0\;0\;0\;1\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;0\;1,
ou seja a aproximação (até 16 dígitos após a vírgula binária) é
(0{,}3190)_{10} \approx (0{,}0101000110101001)_2.

Passo 6

Combinação das partes inteira e fracionária: juntando (1011001)_2 com a parte fracionária aproximada obtemos
(89{,}3190)_{10} \approx (1011001{,}0101000110101001)_2.
Coloquei uma vírgula binária no lugar do ponto decimal para ficar claro que é a separação inteira/fracionária (é a mesma ideia do ponto decimal).

Passo 7

Observação importante sobre exatidão: podemos reescrever 0{,}3190 como a fração racional
0{,}3190 = \frac{319}{1000}.
O denominador 1000 tem fatores 2^3\cdot 5^3. Como há fatores 5 no denominador, a expansão em base 2 não é finita — ela será periódica (infinita). Logo não existe uma representação binária finita exata; só podemos dar uma expansão infinita ou uma aproximação truncada/arreondada. Por isso eu mostrei os primeiros 16 bits e o símbolo de continuação abaixo.

Passo 8

Resposta final (forma compacta e indicando infinitude): a representação binária exata é infinita e periódica; uma forma prática de escrever a resposta é indicando os bits calculados e usando reticências para mostrar que continua. Assim:
(89{,}3190)_{10} = (1011001{,}0101000110101001\ldots)_2,
onde os dígitos após a vírgula continuam periodicamente (não há representação binária finita). Na prova, se pedirem aproximação, use pelo menos os primeiros 10 16 bits como eu mostrei; se pedirem exatidão, justifique que a expansão é periódica porque 319/1000 tem fator 5 no denominador.

Resposta

(89{,}3190)_{10} = (1011001{,}0101000110101001\ldots)_2

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