Questāo (2,5 Pontos): Conversão de número nos sistemas decimal e binária.
(1,0 ponto): Converter o número decimal para binário;
( 89.3190 )
?
(1,0 ponto): Converter o número decimal para binário;
( 89.3190 )
Passo 1
O enunciado pede para converter o número decimal
para o sistema binário.
Informações relevantes fornecidas: o número tem parte inteira e parte fracionária
.
Pergunta clara: qual é a representação binária de ?
Informações relevantes fornecidas: o número tem parte inteira
Pergunta clara: qual é a representação binária de
Passo 2
Estratégia (apenas para organizar a solução): vamos separar o problema em duas partes — converter a parte inteira
para binário e converter a parte fracionária
para binário — e depois juntar os resultados. Esta separação é padrão porque os métodos são diferentes: divisão sucessiva por
para a parte inteira e multiplicações sucessivas por
para a parte fracionária. Vou mostrar cada passo detalhadamente para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Conversão da parte inteira
pelo método das divisões sucessivas por
. A ideia: dividir por
, anotar o resto (que será
ou
), e repetir com o quociente até o quociente ser
. Os restos lidos de baixo para cima dão os dígitos binários (do bit mais significativo para o menos significativo).
Anotações das divisões:
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os bits:
. Portanto a parte inteira em binário é
Passo 4
Conversão da parte fracionária
. Método (explicando didaticamente): para uma fração decimal
entre
e
, multiplica-se por
. O inteiro resultante (ou
ou
) é o próximo bit fracionário em binário; depois toma-se apenas a parte fracionária do produto e repete-se. Formalmente, se
e
, então o k-ésimo bit é
. Para frações decimais cuja representação em base
tem fator
no denominador (como
), a representação em binário será periódica (infinita), então teremos uma expansão binária não finita — nesse caso vamos calcular uma aproximação com vários bits.
Passo 5
Aplicando o método por multiplicações sucessivas a
. Em cada linha mostro o produto por
, o inteiro obtido (bit) e a nova parte fracionária:
Assim, os primeiros
bits da parte fracionária em binário são
ou seja a aproximação (até 16 dígitos após a vírgula binária) é
Passo 6
Combinação das partes inteira e fracionária: juntando
com a parte fracionária aproximada obtemos
Coloquei uma vírgula binária no lugar do ponto decimal para ficar claro que é a separação inteira/fracionária (é a mesma ideia do ponto decimal).
Passo 7
Observação importante sobre exatidão: podemos reescrever
como a fração racional
O denominador
tem fatores
. Como há fatores
no denominador, a expansão em base
não é finita — ela será periódica (infinita). Logo não existe uma representação binária finita exata; só podemos dar uma expansão infinita ou uma aproximação truncada/arreondada. Por isso eu mostrei os primeiros
bits e o símbolo de continuação abaixo.
Passo 8
Resposta final (forma compacta e indicando infinitude): a representação binária exata é infinita e periódica; uma forma prática de escrever a resposta é indicando os bits calculados e usando reticências para mostrar que continua. Assim:
onde os dígitos após a vírgula continuam periodicamente (não há representação binária finita). Na prova, se pedirem aproximação, use pelo menos os primeiros
–
bits como eu mostrei; se pedirem exatidão, justifique que a expansão é periódica porque
tem fator
no denominador.