Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
f(z)=x^2+y+i(1x+x y) no ponto z=1+i.

Passo 1

Beleza, o exercício é de Análise Complexa (continuidade de funções de variável complexa). A função é
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)com u(x,y)=x^2+y e v(x,y)=1x+xy,
e o ponto é (logo , ). A gente vai precisar:
- Entender a definição de continuidade (em termos de limite).
- Verificar se e são contínuas em .
- Avaliar a função em e mostrar que o limite coincide com esse valor.

Passo 2

Definição de continuidade: limzto z0f(z)=f(z0) é contínua em lim(x,y)to(1,1)u(x,y)=u(1,1) e lim(x,y)to(1,1)v(x,y)=v(1,1) se
Como separa em parte real e imaginária , basta mostrar que

Passo 3

Antes de tudo, olhamos o domínio de . A parte exige . Como em temos , tudo bem — estamos num ponto dentro do domínio.

Passo 4

Agora, teoria de continuidade em :
  • Soma, produto e recíproco (desde que o denominador não zere) de funções contínuas são contínuas.
  • , , e (fora de ) são contínuas.
    Logo:
  1. é soma de funções contínuas ⇒ contínua em todo lugar.
  2. é soma de (contínua para ) e (contínuo) ⇒ contínua em todo ponto com , incluindo .

Passo 5

Como ambas as partes são contínuas em f(1+i)=u(1,1)+i,v(1,1) =(1^2+1)+il(tfrac11+1cdot1r) =2+2i , o limite de em existe e é

Resposta

A função é contínua em , pois .

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