Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, o exercício é de Análise Complexa (continuidade de funções de variável complexa). A função é
e o ponto é
- Entender a definição de continuidade (em termos de limite).
- Verificar se
- Avaliar a função em
Passo 2
Definição de continuidade:
é contínua em
se
Como
separa em parte real
e imaginária
, basta mostrar que
Passo 3
Antes de tudo, olhamos o domínio de
. A parte
exige
. Como em
temos
, tudo bem — estamos num ponto dentro do domínio.
Passo 4
Agora, teoria de continuidade em
:
- Soma, produto e recíproco (desde que o denominador não zere) de funções contínuas são contínuas.
-
, , e (fora de ) são contínuas.
Logo:
-
é soma de funções contínuas ⇒ contínua em todo lugar. -
é soma de (contínua para ) e (contínuo) ⇒ contínua em todo ponto com , incluindo .
Passo 5
Como ambas as partes são contínuas em
, o limite de
em
existe e é
Resposta
A função
é contínua em
, pois
.