Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
f(z)=2 z-3z^2+2 z+2, nos pontos z1=-1+2 i e z2=1+i.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente ver se a função
f(z)=2z-3z^2+2z+2
é contínua nos pontos
z1=-1+2ie z2=1+i
Conteúdo: continuidade de funções de variável complexa, em especial de polinômios e quocientes de polinômios. O que a gente vai precisar:
  • Saber que polinômios são contínuos em todo lugar;
  • Que um quociente de polinômios é contínuo sempre que o denominador não for zero no ponto;
  • Calcular o denominador z^2+2z+2 em cada ponto e ver se dá zero ou não.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Uma função g(z) é contínua em z0 se limzto z0g(z)=g(z0).
  2. Polinômios em z (como z^2, 2z, constantes) são contínuos em todo z.
  3. Logo, um quociente de polinômios
P(z)Q(z)
é contínuo em z0 sempre que Q(z0)neq0. Se Q(z0)=0, rola descontinuidade (pode ser polo ou outro tipo).

Passo 3

Vamos calcular Q(z)=z^2+2z+2 em z1=-1+2i.
  1. Primeiro z1^2=(-1+2i)^2=(-1)^2+2cdot(-1)cdot2i+(2i)^2=1-4i-4= -3-4i.
  2. Depois 2z1=2(-1+2i)=-2+4i.
  3. Somando:
Q(z1)=(-3-4i)+(-2+4i)+2 = (-3-2+2)+(-4i+4i)= -3+0i = -3
Como Q(z1)=-3neq0, o quociente está bem definido ali e f é contínua em z1.

Passo 4

Agora em z2=1+i:
  1. z2^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i.
  2. 2z2=2(1+i)=2+2i.
  3. Somando:
Q(z2)=2i+(2+2i)+2 = (2+2)+ (2i+2i)=4+4i
Como Q(z2)=4+4ineq0, de novo está tudo ok e f é contínua em z2.

Resposta

A função f(z)=2z-3z^2+2z+2 é contínua tanto em z1=-1+2i quanto em z2=1+i, pois em nenhum dos pontos o denominador z^2+2z+2 vira zero.

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