Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico de todos os
tais que
.
O conteúdo aqui é transformar a condição em coordenadas reais e reconhecer a curva resultante (geometria analítica de cônicas).
O conteúdo aqui é transformar a condição em coordenadas reais e reconhecer a curva resultante (geometria analítica de cônicas).
Passo 2
Escrevendo
com
, temos
Logo a parte real é
Passo 3
A desigualdade pedida é
Reescrevendo em forma padrão,
que é a inequação de uma hipérbole de eixo real.
Passo 4
A fronteira da região é a hipérbole
cujos ramos se abrem para a direita e para a esquerda, com assíntotas
. A inequação “
” seleciona os pontos de coordenadas
que estão fora desses ramos (incluindo a própria curva).
Passo 5
Portanto, o lugar geométrico é a união de duas regiões fechadas e desconexas:
– o ramo direito da hipérbole e todos os pontos à sua direita (onde
),
– o ramo esquerdo da hipérbole e todos os pontos à sua esquerda (onde
).
– o ramo direito da hipérbole
– o ramo esquerdo da hipérbole
Resposta
O lugar geométrico é a região do plano dada por
ou seja, os dois ramos da hipérbole
com tudo que está “para fora” dela (à direita e à esquerda).