Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
\operatorname{Re}\left(z^{2}\right) \geq 1

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico de todos os z\in\mathbb{C} tais que
\displaystyle \Re\bigl(z^2\bigr)\ge 1.
O conteúdo aqui é transformar a condição em coordenadas reais e reconhecer a curva resultante (geometria analítica de cônicas).

Passo 2

Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, temos
z^2=(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i\,(2xy).
Logo a parte real é
\Re\bigl(z^2\bigr)=x^2 - y^2.

Passo 3

A desigualdade pedida é
x^2 - y^2 \ge 1.
Reescrevendo em forma padrão,
\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1} \ge 1,
que é a inequação de uma hipérbole de eixo real.

Passo 4

A fronteira da região é a hipérbole
x^2 - y^2 = 1,
cujos ramos se abrem para a direita e para a esquerda, com assíntotas y=\pm x. A inequação “ \ge1” seleciona os pontos de coordenadas (x,y) que estão fora desses ramos (incluindo a própria curva).

Passo 5

Portanto, o lugar geométrico é a união de duas regiões fechadas e desconexas:
– o ramo direito da hipérbole x^2 - y^2 =1 e todos os pontos à sua direita (onde x\ge \sqrt{1+y^2}),
– o ramo esquerdo da hipérbole x^2 - y^2 =1 e todos os pontos à sua esquerda (onde x\le -\sqrt{1+y^2}).

Resposta

O lugar geométrico é a região do plano dada por
x^2 - y^2 \ge 1,
ou seja, os dois ramos da hipérbole x^2 - y^2 =1 com tudo que está “para fora” dela (à direita e à esquerda).

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