Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
\operatorname{Im}\left(z^{2}\right) \leq 2

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico de todos os números complexos z tais que
\operatorname{Im}(z^2)\le2.
O conteúdo usado será a escrita de z em coordenadas reais e a identificação da parte imaginária de z^2, levando a uma inequação em x e y.

Passo 2

Escrevemos
z = x + i y,
com x,y\in\mathbb{R}. Então
z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2\,i\,x y.

Passo 3

A parte imaginária de z^2 é
\operatorname{Im}(z^2)=2xy.
A condição \operatorname{Im}(z^2)\le2 torna-se
2xy \le 2.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos
xy \le 1.
A curva de igualdade \,xy=1 é uma hipérbole equilátera com ramos nos quadrantes I e III.

Passo 5

O lugar geométrico é a região do plano (x,y) que satisfaz
xy \le 1,
ou seja, toda a parte do plano que fica sobre (ou à esquerda em cada ramo) da hipérbole xy=1, incluindo os quadrantes II e IV, onde xy<0.

Resposta

O lugar geométrico é o conjunto de pontos z=x+iy tais que
xy \le 1,
cuja fronteira é a hipérbole xy=1.

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