Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
|arg z|<\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos z\in\mathbb{C} tais que
\lvert \arg z\rvert < \frac{\pi}{4}.
O conteúdo é geometria no plano complexo, usando definição de argumento e conversão para coordenadas cartesianas.

Passo 2

Se z = x + i y e r=\lvert z\rvert, podemos escrever
z = r\,e^{i\theta},
onde \theta = \arg z. A condição \lvert\arg z\rvert<\tfrac{\pi}{4} vira
-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}.

Passo 3

No primeiro quadrante e quarto quadrante, \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) e exige-se \lvert \arctan(y/x)\rvert < \pi/4. Como \tan é crescente em (-\,\pi/2,\pi/2), isso equivale a
\bigl\lvert \tfrac{y}{x}\bigr\rvert < 1 \quad\text{e}\quad x>0.

Passo 4

Multiplicando a desigualdade por x>0 obtemos
\lvert y\rvert < x \quad\text{e}\quad x>0.
Essas duas condições descrevem um setor aberto com vértice na origem, limitado pelas retas y=x e y=-x, sem incluir as próprias retas.

Resposta

O lugar geométrico é o setor aberto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0,\;|y|<x\},
isto é, o conjunto dos pontos do plano entre as retas y=x e y=-x, excluindo as fronteiras.

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