Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b) a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL).
f(x)=ln (x)-x+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) que, para qualquer ponto inicial x0 nesse intervalo, uma sequência gerada pela função varphi(x) vai convergir para a raiz da função f(x) = ln(x) - x + 2. A matéria envolvida aqui é o Método Iterativo Linear (MIL), que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Vamos precisar entender como esse método funciona e como escolher varphi(x) de forma que a sequência realmente chegue na raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a raiz da função f(x) = ln(x) - x + 2. Queremos resolver ln(x) - x + 2 = 0. Isso não é tão simples de resolver de cabeça, então a gente pode fazer uma análise gráfica ou usar métodos numéricos. Vamos avaliar alguns valores:
  • Para x = 1: f(1) = ln(1) - 1 + 2 = 0 - 1 + 2 = 1
  • Para x = 2: f(2) = ln(2) - 2 + 2 approx 0.693 - 2 + 2 = 0.693
  • Para x = 3: f(3) = ln(3) - 3 + 2 approx 1.098 - 3 + 2 = 0.098
  • Para x = 4: f(4) = ln(4) - 4 + 2 approx 1.386 - 4 + 2 = -0.614
Vemos que f(x) muda de positivo para negativo entre x = 3 e x = 4, então existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos escolher o intervalo (a, b). Como a raiz está entre 3 e 4, vamos escolher a = 3 e b = 4. Esse será o nosso intervalo de interesse.

Passo 4

O próximo passo é definir a função de iteração varphi(x). No Método Iterativo Linear, queremos rearranjar a equação f(x) = 0 para a forma x = varphi(x). Vamos fazer isso a partir de f(x) = ln(x) - x + 2 = 0:
ln(x) - x + 2 = 0 implies ln(x) + 2 = x implies x = ln(x) + 2
Então, podemos definir:
varphi(x) = ln(x) + 2

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essa escolha de varphi(x) vai garantir a convergência da sequência. Para isso, analisamos a derivada de varphi(x):
varphi'(x) = ddx [ln(x) + 2] = 1x
Para garantir a convergência, precisamos que |varphi'(x)| < 1 no intervalo (a, b). Como varphi'(x) = 1x, temos:
|varphi'(x)| = |1x| < 1 implies |x| > 1
No nosso intervalo (3, 4), todo x é maior que 1, então essa condição é satisfeita. Isso significa que a escolha de varphi(x) = ln(x) + 2 vai garantir a convergência da sequência para a raiz no intervalo escolhido.

Resposta

Um intervalo adequado é (3,,4) e a função de iteração associada é varphi(x) = ln(x) + 2. Assim, para qualquer x0 em (3, 4), a sequência gerada por varphi(x) converge para a raiz de f(x) = ln(x) - x + 2 usando o Método Iterativo Linear.

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