Determine um intervalo e uma função de iteração associada, de tal forma que a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL). .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um intervalo e uma função de iteração que, para qualquer ponto inicial nesse intervalo, uma sequência gerada pela função vai convergir para a raiz da função . A matéria envolvida aqui é o Método Iterativo Linear (MIL), que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Vamos precisar entender como esse método funciona e como escolher de forma que a sequência realmente chegue na raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a raiz da função . Queremos resolver . Isso não é tão simples de resolver de cabeça, então a gente pode fazer uma análise gráfica ou usar métodos numéricos. Vamos avaliar alguns valores:
Para :
Para :
Para :
Para :
Vemos que muda de positivo para negativo entre e , então existe uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos escolher o intervalo . Como a raiz está entre 3 e 4, vamos escolher e . Esse será o nosso intervalo de interesse.
Passo 4
O próximo passo é definir a função de iteração . No Método Iterativo Linear, queremos rearranjar a equação para a forma . Vamos fazer isso a partir de :
Então, podemos definir:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essa escolha de vai garantir a convergência da sequência. Para isso, analisamos a derivada de :
Para garantir a convergência, precisamos que no intervalo . Como , temos:
No nosso intervalo (3, 4), todo x é maior que 1, então essa condição é satisfeita. Isso significa que a escolha de varphi(x) = ln(x) + 2 vai garantir a convergência da sequência para a raiz no intervalo escolhido.
Resposta
Um intervalo adequado é (3,,4) e a função de iteração associada é varphi(x) = ln(x) + 2. Assim, para qualquer x0 em (3, 4), a sequência gerada por varphi(x) converge para a raiz de f(x) = ln(x) - x + 2 usando o Método Iterativo Linear.